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1、一、决策问题与0-1变量,1,0,做第i件事,不做第i件事,n件事中必须做k件并只做k件事,n件事中最多做k件事,n件事中至少做k件事,做第i件事的充要条件是做第j件事,做第i件事的充要条件是不做第j件事,只在做了第i件事前提下才考虑是否做第j件事,例1（布点问题）某城市共有6个区，每个区都可以建消防站。市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火火警时，消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见右表。,请为该市制定一个 最节省的计划,在第i个地区建站,Z表示全区消防站总数,不在第i个地区建站,i=1,2, ,6,布点问题模型：,最优解 x2=1, x4
2、=1,最优值 Z=2,二、过滤隐枚举法,（适合于变量个数较少的0-1规划）,（0 0 0）,（0 0 1）,（0 1 0）,（1 0 0）,（1 0 1）,（1 1 0）,（0 1 1）,（1 1 1）, ,0,Z0,枚举法：,检验可行解： 32次运算,-2,5, ,Z5,3,1,8,3,6,运算次数：21,计算目标 函数值：8次, ,例 有一份说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四个人，他们将说明书译成不同文字所需的时间如下表。问应指派哪个人完成哪项工作，使所需的总时间最少？,二、指派问题,指派问题的求解，最简便易行的方法是匈牙利法。,可见指派问题是0-1型整数规划的特例
3、。不难发现，指派问题也是运输问题的特例，其产地和销地数都为n，各产地的产量和各销地的销量都为1。,匈牙利法基于这样一个明显的事实：如果系数矩阵的所有元素满足cij0，而其中有n个位于不同行不同列的一组0元素，则只要令对应于这些0元素位置的xij1，其余的xij0，就得到最优解。,匈牙利法求解指派问题的步骤如下：,第一步：变换系数矩阵，使每行每列都出现0元素。(1)系数矩阵的各行分别减去各行中的最小元素；(2)所得系数矩阵的各列再分别减去各列中的最小元素。 第二步：试求最优解。 (1)给只有一个0元素（不含划去的0）的行中的“0”画，划去与同列的其它“0”； (2)给只有一个0元素（不含划去的0
4、）的列中的“0”画，划去与同行的其它“0”； (3)重复(1)、(2)，直到无新的画出。若系数矩阵中已无未画也未划去的“0”，则已得到最多的，转(5)；否则，便出现了0元素的闭回路，转(4)。 (4)从0元素的闭回路上任选一个“0”画，划去其同行同列的其它“0”，转(1)。 (5)显然，按上述步骤得到的是位于不同行不同列的。若已达n个，则指派问题的最优解已得到，结束计算；否则，转第三步。,第三步：用最少的直线覆盖所有0元素。 (1)给无的行打“”； (2)给打行中含有0元素的列打“”； (3)给打列中含有元素的行打“”； (4)重复(2)、(3)，直到无新的“”打出。 (5)给没有打的行画横线
5、，给打的列画纵线。 第四步：变换系数矩阵，增加0元素。在未被画线覆盖的其它元素中找出最小元素，各打“”行减去最小元素，各打“”列加上最小元素，转第二步。,指派问题的数学模型为：,克尼格定理 : 如果从分配问题效率矩阵aij的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui，从每一列中分别减去(或加上)一个常数vj，得到一个新的效率矩阵bij，则以bij为效率矩阵的分配问题与以aij为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。,指派问题的求解步骤：,1) 变换指派问题的系数矩阵(cij)为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素； 再从所得新系数矩阵
6、的每列元素中减去该列的最小元素。,2) 进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。,找独立0元素，常用的步骤为：,从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作 。然后划去 所在列的其它0元素，记作 ；这表示该列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一行。 从只有一个0元素的列开始（画的不计在内），给该列中的0元素加圈，记作；然后划去 所在行的0元素，记作 ，表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。 若仍有没有划圈的0元素，
7、且同行(列)的0元素至少有两个，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。,若 元素的数目m 等于矩阵的阶数n（即：mn），那么这指派问题的最优解已得到。若m n, 则转入下一步。,3) 用最少的直线通过所有0元素。其方法：,对没有的行打“”； 对已打“” 的行中所有含元素的列打“” ； 再对打有“”的列中含 元素的行打“” ； 重复、直到得不出新的打号的行、列为止； 对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。,注：l
8、 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试指派；若 lm n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第4步。,4) 变换矩阵(bij)以增加0元素 在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。,例4.6 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？,解：1）变换系数矩阵，增加0元素
9、。,5,2）试指派（找独立0元素）,找到 3 个独立零元素 但 m = 3 n = 4,3）作最少的直线覆盖所有0元素,独立零元素的个数m等于最少直线数l，即lm=3n=4；,4）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2）步进行试指派,试指派,得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：,即完成4个任务的总时间最少为：241+8=15,例4.7 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。,解：1）变换系数矩阵，增加0元素。,2）试指派（找独立0元素）,独立0元素的个数为4 ,
10、指派问题的最优指派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作，丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排能使总的工作时间最少，为4491128。,例4.8 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配方案。,-1,-2,解：1）变换系数矩阵，增加0元素。,2）试指派（找独立0元素）,独立0元素的个数l45，故画直线调整矩阵。,选择直线外的最小元素为1；直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变。,l =m=4 n=5,选择直线外最小元素为1，直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变，得到新的系数矩阵。,总费用为=5+7+6+6+4=28,注：此问题有多个最优解,总费用为=7+9+4+3+5=28,总费用为=8+9+4+3+4=28,课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。,练习1：,练习2：,分配问题与匈牙利法,48,21,答案：,