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1、最新教学推荐第 22 讲正弦定理和余弦定理解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状，求三角形的面积等. 三种考查内容均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度中等偏易 .一、选择题1在 ABC中，三内角 A，B，C的对边分别为a， b， c. 若 a 1，b3， A 6 ，则 B( B )2A 3B 3 或 3C 或5D2663ab13解析根据正弦定理 sinA sinB，得 sinB，sin63 2 sin B 2 ， B 3 或 3 .22C)2在 ABC中，若 AB 2， AC BC 8，则 ABC面积的最大值为 (A 2B 2C
2、3D 32224解析22AC BC AB， cos AC BC2AC BC， ACBC4. cos C2 2AC BCAC BC1C 2， 0C60. 1 sin，由不等式的性质可知当 2 时，面积S有最大值，maxS 2AC BCCACBCS 122 3 3，故选 C223在 ABC中， A45， C105， BC2，则边长 AC为 (B)A3 1B 1C 2D3 1根据题意有 B180 105 45 30，根据正弦定理ACBCA，得解析sinB sin212 1，故选 BAC221最新教学推荐4在中，7， 2，60，则边上的高等于 (B)ABCACBCBBC3B33A223 6D3 39C
3、42解析 设 AC b， BC a，AB c，由余弦定理b2 a2 c2 2accos B，得 7 4 c2 2c，33解得 c 3. 设 BC边上的高为 h，则 hcsinB 2 .5钝角三角形的面积是1， 1， 2，则 (B )ABC2ABBCACA 5B5C 2D 1111233解析 S 2AB BCsinB212sinB2， sinB 2， B 4 或 4. 当 B 4时，根据余弦定理得222B 1 2 2 5， AC5，此时 ABCAC AB BC 2AB BCcos222为钝角三角形，符合题意；当B4时，根据余弦定理得ACAB BC 2AB BCcos B 1222AC 5.2 2
4、 1， AC 1，此时 AB AC BC， ABC为直角三角形，不符合题意，故6在 ABC中，角 A，B， C所对的边分别是a， b，c. 若 c2 ( a b) 2 6， C 3 ，则ABC的面积是 (C)93A 3B 233C 2D 33解析 c2 ( ab) 2 6， c2 a2 b2 2ab 6. 22222 C 3 ， c a b 2abcos 3 a b ab. 由，得 ab 6 0，即 ab 6.11333 S ABC 2absin C 26 2 2 .二、填空题7 ABC的内角 A，B， C所对的边分别为a， b， c，且 a， b， c 成等比数列 . 若 sinB5， co
5、s12，则ac的值为3 7 .13Bac25122解析 a， b， c成等比数列，b ac. sinB 13， cosB ac， ac 13， b2最新教学推荐a2c2 2accos，2c2 37， (a) 263，a 37.Bacc8在 ABC中， A60， AC 4， BC 23，则 ABC的面积等于2 3 .如图所示，在 ABC中，由正弦定理，得234B 1，所解析sin 60 sin B，解得 sin以 B90. 所以 S 1142（ 222 AB2 323） 2 3 2 3.ABC19在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是a， b， c. 若 b c 4a， 2sinB 3s
6、inC，1则 cosA的值为 4.3解析由 2sinB 3sinC及正弦定理得 2b 3c，即 b 2c.111又 b c 4a， 2c 4a，即 a 2c. 由余弦定理，得 cos2229c2 c24c2 3c21. b c a 442A2bc3c23c422三、解答题10在中，角， ，C的对边分别为，且满足 (2cos 1)sin 2cosABCABabcABA 1(1) 求 A 的大小；222sinB(2) 若 5b a 2c ，求 sinC的值 .解析 (1) (2cosA 1)sinB 2cosA 1， (2cosA 1)(sinB 1) 0.1 0B0， cosA2. 0A ， A
7、 3 .(2) 在 ABC中，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc. 5b2 a22c2， 5b2 b2 c2 bc2c2， 4b2bc 3c2 0，2 b 4 c c 3 0.bbb3sinB b 3解得 c 1( 舍 ) 或 c4， sinCc 4.3最新教学推荐11的内角， ，C所对的边分别为a， . 已知，3， cos2 cos2ABCA Bbca bcAB 3sin Acos A 3sin Bcos B(1) 求角 C的大小；4(2) 若 sin A5，求 ABC的面积 .解析(1) 由倍角公式，原等式可化为cos 2A 1cos 2B 13322 2
8、sin 2A 2 sin 2 B，即 sin2 2 B 6 sinA6 . a b， A B. 又 A， B(0 ， ) ， 2B 2A ，解得 A B2 ， C663 ( ) .AB38(2) 由正弦定理可求得a5.3 ac， AC 3 ， cosA 5. sinB sin ( A C) sin( A C) 4 3310，18 3 18 SABC 2acsin B 25 .12(2016 山东卷 ) 在 ABC中，角 A， B，C 的对边分别为a， b， c，已知 2(tanAtanAtanBtanB) cosB cos A.(1) 证明： a b 2c；(2) 求 cos C的最小值 .sinAsinBsinA cossinB解析 (1) 由题意知2 cosA cosB coscoscos，ABAB化简得 2(sincos sincos) sin sin，即 2sin( ) sinAABBAABABsinB因为 A B C ，所以 sin( AB) sin( C) sin C从而 sinA sinB2sinC由正弦定理得ab 2c.22a b 2(2) 由 (1) 知caba2b2 c2a b 23a b1 1，所以 cos ，当2C2ab2ab8ba4 2且仅当 ab 时，等号成立 . 故 cos1C的最小值为 .24