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1、最新教学推荐第 69 讲绝对值不等式 解密考纲 对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等1已知 f ( x) | x 1| | x 2| ，g( x) | x 1| | x a| a( a R) (1) 解不等式 f ( x) 5；(2) 若不等式 f ( x) g( x) 恒成立，求 a 的取值范围解析(1) f ( x) | x 1| | x 2| 表示数轴上的x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和，而 2 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于5,3 对应点到 1 和 2 对应点的距离之
2、和正好等于5，故不等式f ( x) 5的解集为 2,3 (2) 若不等式 f ( x) g( x) 恒成立，即 | x 2| | x a| a 恒成立而 | x2| | xa| |(2 x) ( x a)| | a 2| ， (| x 2| | x a|) min | a 2| ， | a2| a，a2 a2， a0或解得 a1，故 a 的取值范围为 ( ， 1 a0，2设 f ( x) | x 1| | x a|.(1) 若 a 1，解不等式 f ( x) 3；(2) 若对任意的 x R， f ( x) 4，求实数 a 的取值范围 2x， x 1，解析(1)当1时，f ( x)| x1|2，
3、 11，根据图象易得33.f ( x) 3的解集为 x x 或 x22(2) 由于 f ( x) | x 1| | x a| | x 1| | a x| |a 1| ，对任意的 x R， f ( x) 4等价于 | a1| 4，解得 a5或 a 3，故实数 a 的取值范围为 ( ， 3 5 ， ) 3已知函数f ( x) | x2| |2 xa| ， aR.1最新教学推荐(1) 当 a 3 时，解不等式 f ( x)0 ；(2) 当 x ( ， 2) 时， f ( x)0 ，即 | x2| |2 x 3|0 ，332，等价于x2，或2x0 3x 50 x10，335解得 1x 2或2x3或无解
4、5原不等式的解集为x 1x3.(2) 当 x ( ， 2) 时， f ( x) 2x |2 xa| ， f ( x)2 x，即 2x a2 x 或 2x ax 2，即 ax 2 恒成立， x2， a4.故 a 的取值范围是 4 ， ) 4设对于任意实数x，不等式 | x7| | x1| m恒成立(1) 求 m的取值范围；(2) 当取最大值时，解关于x的不等式 |x 3| 22 12.mx m解析(1) 设 f ( x) | x 7| | x 1| ， 6 2x， x1，当 x8 ，当 7 x1时， f ( x) 8，当 x1 时， f ( x)8.综上， f ( x) 有最小值 8，所以 m8
5、，故 m的取值范围为 ( ， 8 (2) 当 m取最大值时， m8. 原不等式等价于 | x 3| 2x4，x3，x3，等价于或x 3 2x43 x 2x4，1等价于 x3或 3 x3.所以原不等式的解集为x x 1.35(2017 全国卷) 已知函数 f ( x) | x1| | x2|.(1) 求不等式 f ( x) 1的解集；2最新教学推荐(2) 若不等式 f ( x) x2 xm的解集非空，求 m的取值范围 3， x2.当 x2 时，由 f ( x) 1解得 x2.所以 f ( x) 1的解集为 x| x1 (2) 由 f ( x) x2 x m得 m|x 1| | x 2| x2 x
6、.而 | x1| | x2| x2 x|x| 1| x| 2x2 | x|3 255 | x| 2 4 4，故 m的取值范围为5， 4 .6设函数 f ( x) | x a|.(1) 当 2 时，解不等式f(x) 4 |x 1| ；a(2) 若f(x) 1的解集为 0,211 ( 0， 0) ，求证：24.， m2na mnmn解析(1) 当 a2 时，不等式为| x 2| | x1| 4.17因为方程 | x 2| | x 1| 4 的解为 x1 2，x2 2，17.所以原不等式的解集为，22(2) 证明： f ( x) 1，即 | x a| 1，解得a1 x a 1，而 f ( x) 1的解集是 0,2，a 1 0，所以解得a 1 2， 1，所以11 1(0， 0) am2nmn所以 2 ( 2n)1 12nm 2 4.m n mm 2nm2n3