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1、几种常见解不等式的解法重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求， 随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式 (组 )、一元二次不等式 (组 )的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题
2、例示范讲解例 1 已知 f(x)是定义在 1， 1上的奇函数，且f(1)=1，若 m、 n 1， 1，m+n 0f (m)f ( n)时mn 0(1)用定义证明f(x)在 1， 1上是增函数；11(2)解不等式f(x+2 ) f(x1 )；(3)若f(x) t2 2at+1 对所有x1，1， a 1，1 恒成立，求实数t 的取值范围命题意图本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力知识依托本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用11错解分析(2)问中利用单调性转化
3、为不等式时，x+ 21， 1， x1 1， 1必不可少，这恰好是容易忽略的地方技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键， (3) 问利用单调性把 f(x)转化成“ 1”是点睛之笔f ( x1 )f ( x2 )(1)证明任取 x1 x2，且 x1，x2 1，1，则 f(x1) f(x2)=f(x1)+f( x2)=x1x2(x1 x2) 1 x1 x2 1，f ( x1 )f (x2 )x1+( x2) 0，由已知x1x2 0，又x1 x2 0， f(x1) f(x2) 0，即 f(x)在 1， 1上为增函数(2)解 f(x)在 1， 1上为增函数，1x11
4、2111x1x1132x 1x| 2 x 1， x R解得(3)解由(1)可知 f(x)在 1， 1上为增函数，且 f(1)=1，故对 x 1， 1，恒有 f(x) 1，所以要 f(x) t2 2at+1 对所有 x 1，1，a 1，1恒成立，即要t2 2at+1 1 成立，故 t2 2at 0，记 g(a)=t22at ，对 a 1， 1， g(a) 0，只需 g(a)在 1， 1上的最小值大于等于 0， g( 1) 0， g(1) 0，解得， t 2 或 t=0 或 t 2 t 的取值范围是t|t 2 或 t=0 或 t 2例 2 设不等式 x2 2ax+a+2 0 的解集为 M，如果 M
5、 1， 4，求实数 a 的取值范围命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想错解分析M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解 M 1， 4有两种情况其一是 M= ，此时 0；其二是 M ，此时=0 或 0，分三种情况计算 a 的取值范围设 f(x)=x2 2ax+a+2，有
6、=( 2a)2 (4a+2)=4(a2 a 2)(1)当 0 时， 1a 2， M=1， 4(2)当=0 时， a= 1 或 2当 a=1 时 M= 1 1， 4；当 a=2 时， m=2 1，4(3)当 0 时， a 1 或 a 2设方程 f(x)=0 的两根 x1， x2，且 x1x2，f (1)0,且 f ( 4)0那么 M= x1， x2， M1， 41 a4, 且01 x1 x24a30187a0a018即 a或a 2 ，解得2 a 7 ，118M 1， 4时， a 的取值范围是 ( 1， 7 )a( x1)例 3解关于 x 的不等式x2 1(a 1)( a1) x( 2 a)解原不
7、等式可化为x2 0，a2当 a 1 时，原不等式与 (x a1 )(x 2) 0 同解a21112由于 a1a1a2原不等式的解为 (， a 1 ) (2，+ )a2当 a 1 时，原不等式与 (x a1 )(x 2) 0同解a211由于 a1a1 ,a2112a2若 a 0， a1a1,解集为 ( a1 ，2)；a2112若 a=0 时， a11a，解集为；a2112a2若 0 a1， a1 )1a1,解集为 (2， aa2a2综上所述当 a 1 时解集为 (， a1 )(2，+ )；当 0 a1 时，解集为 (2， a1 )；a2当 a=0 时，解集为；当 a 0 时，解集为 ( a1 ，
8、 2）学生巩固练习( x1) 2 ( x1)2 x2(1 x1)11( x1)1设函数 f(x)= x，已知 f(a) 1，则 a 的取值范围是 ( )111A(， 2) ( 2 ， + )B( 2 ， 2 )11C(， 2) ( 2 ，1)D( 2， 2 )(1， +)a 2b2已知 f(x)、g(x)都是奇函数， f(x) 0 的解集是 (a2，b)，g(x)0 的解集是 ( 2，2 )，则 f(x)g(x) 0 的解集是 _3已知关于x 的方程 sin2x+2cosx+a=0 有解，则a 的取值范围是_4 已知适合不等式 |x2 4x+p|+|x 3| 5 的 x 的最大值为 3(1)求
9、 p 的值；px1log p1x(2)若 f(x)= px1 ，解关于 x 的不等式 f -1(x)k(kR+)715 设 f(x)=ax2+bx+c，若 f(1)= 2，问是否存在 a、b、c R，使得不等式x2+ 2f(x) 2x2+2x+32 对一切实数x 都成立，证明你的结论6 已知函数 f(x)=x2+px+q，对于任意 R，有 f(sin )0，且 f(sin +2)2(1)求 p、 q 之间的关系式；(2)求 p 的取值范围；(3)如果 f(sin +2)的最大值是14，求 p 的值并求此时 f(sin )的最小值17解不等式 loga(x x )18设函数 f(x)=ax 满足
10、条件当 x (， 0)时， f(x)1；当 x(0， 1 时，不等式 f(3mx1) f(1+mx x2) f(m+2)恒成立，求实数 m 的取值范围参考答案1解析由 f(x)及 f(a) 1可得a1a11a111 1(a 1) 21 或 2a21 或 a1解得 a 2，解得2 a1 ，解得 x1a 的取值范围是 (， 2) ( 2 ， 1）答案C2解析由已知b a2 f(x)，g(x)均为奇函数，b ,a 2f(x) 0 的解集是 ( b， a2)， g(x) 0的解集是 ( 22 )由 f(x)g(x) 0 可得f ( x)0f ( x)0a2x bb xa 2即或或g ( x)0g( x
11、)0,a2bba22xx222b b x (a2， 2 )( 2 ， a2)bb答案(a2， 2 )( 2， a2)3 解析原方程可化为cos2x 2cosxa 1=0，令 t=cosx，得 t2 2t a 1=0，原问题转化为方程t22t a 1=0 在 1， 1上至少有一个实根令 f(t)=t2 2t a 1，对称轴 t=1 ，f ( 1)0画图象分析可得f (1)0 解得 a 2，2答案 2， 24 解(1)适合不等式 |x2 4x+p|+|x 3| 5 的 x 的最大值为3， x 3 0， |x 3|=3 x若|x2 4x+p|= x2+4x p，则原不等式为 x2 3x+p+2 0，
12、其解集不可能为 x|x 3的子集， |x2 4x+p|=x2 4x+p 原不等式为 x2 4x+p+3 x 0，即 x2 5x+p2 0，令 x2 5x+p 2=(x 3)(x m)，可得 m=2， p=88x11x(2)f(x)= 8x1 ， f - 1(x)=log8 1x ( 1 x 1 ) ，1x1x有 log8 1x log8k， log8(1 x) log8k ， 1 xk， x 1 k 1 x1， kR+，当 0 k 2 时，原不等式解集为x|1 k x 1；当 k 2 时，原不等式的解集为 x| 1 x1 77135 解由 f(1)= 2得 a+b+c= 2，令 x2+ 2=2
13、x2+2x+ 2 x = 1，33由 f(x)2x2+2x+ 2 推得 f( 1) 21333由 f(x)x2+ 2 推得 f( 1) 2 ， f( 1)= 2 ， a b+c= 2 ，55故 2(a+c)=5， a+c= 2 且 b=1， f(x)=ax2+x+( 2 a)51依题意ax2+x+( 2 a) x2+ 2 对一切 xR 成立， a 1 且 =1 4(a 1)(2 a) 0，得 (2a 3)2 0，3 f(x)= 2 x2+x+133易验证2 x2+x+1 2x2+2x+ 2 对 xR 都成立3存在实数a= 2 ，b=1 ，c=1，13使得不等式x2+ 2 f(x)2x2+2x+
14、 2 对一切 xR 都成立6 解 (1) 1 sin 1， 1 sin +23，即当 x 1， 1时， f(x) 0，当 x 1，3时， f(x) 0，当 x=1 时 f(x)=0 1+p+q=0， q= (1+p)(2)f(x)=x2+px (1+p)，当 sin = 1 时 f( 1) 0， 1p1 p 0， p 0(3)注意到 f(x) 在 1， 3上递增， x=3 时 f(x)有最大值即 9+3p+q=14， 9+3p 1 p=14， p=3此时， f(x)=x2+3x 4，即求 x 1， 1时 f(x)的最小值325又f(x)=(x+2)24，显然此函数在1， 1上递增当 x=1 时
15、 f(x)有最小值f( 1)=1 3 4=6110x11a7 解(1)当 a 1 时，原不等式等价于不等式组x11由此得 1 a x因为 1 a 0，所以 x 0， 1a x 0110x(2)当 0 a 1 时，原不等式等价于不等式组1 1a x11由 得 x1 或 x0，由得0 x 1a ， 1x 1 a1a x 0 ，当 0 a 1 时，不等式的解集为 x|1综上，当 a 1 时，不等式的解集是x|11x 1a 8 解由已知得0 a 1，由 f(3mx 1) f(1+mx x2)f(m+2) ， x(0， 1 恒成立3mx 11mxx21mxx 2m2 在 x(0， 1 恒成立2x1x2整
16、理，当 x (0， 1)时， m( x1)x21 恒成立，m 1 x22xmx 21即当 x (0， 1 时，x1 恒成立，2mx1x2且 x=1 时， m( x1)x21 恒成立，1x2111x22x2 x 2 在 x (0， 1 上为减函数，2 x 1，1x2m2x恒成立m 0x 21( x1)122x21又 x1x1 上是减函数， x1 1，在 x (0， 1x21mx1 恒成立m 1mm当 x (0，1)时，2mx1当 x=1 时，m( x1)1x 22x2x1x1 恒成立m( 1， 0)x2m0x21 ，即是01 m 0、两式求交集m ( 1， 0） ,使 x (0，1 时，f(3mx 1) f(1+mx x2) f(m+2)恒成立， m 的取值范围是 ( 1， 0)课前后备注