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1、.第一章解三角形一、选择题 .1. 在 ABC 中， b = 8， c =83， S=16 3 ，则 A 等于 ()ABCA. 30 oB. 60oC. 30o 或 150oD. 60o 或 120o2. 在 ABC中，若 3 a = 2b sin A，则 B 为 ()A. B. C. 或 5D. 或 23666333. ABC 中，下述表达式：sin( A + B) + sinC； cos( B + C) + cosA； tan A B tan C ，其中表示常数的是 ()22A. 和B. 和C. 和D. 4. 在 ABC 中，“A = B”是“ sin A = sin B”的 ()A. 充
2、分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分又不必要条件5. 已知a， b， c 是 ABC 三边的长，若满足等式( a + b - c)( a + b + c) = ab，则 C 的大小为 ()A. 60oB. 90oC. 120oD. 150o6. 若 ABC 满足下列条件： a = 4， b10， A30 ； a6， b10， A30 ； a6， b10， A150 ； a12， b10， A150 ； a + b + c = 4 ， A30 ， B 45 .则 ABC 恰有一个的是 ()A. B. C. D. 7. ABC 中，若sin( A + B) sin( A -
3、 B) = sin2 C，则 ABC 是 ()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. ABC 中，若 a， b， c 成等差数列，则B 的取值范围是();.0，0，D.A.B.C.，66339.在 ABC 中，若 C = 60o，则 cos A cos B 的取值范围是 ()A.1 ， 1B.0，1C.3 ， 1D. 以上都不对2444410. ABC 中，若其面积S = 1( a2 + b2 - c2) ，则 C =()4A.C.D.2B.463二、填空题 .1.在 ABC 中，如果sin A : sin B : sin C =2 : 3 : 4 ，那么 cos
4、 C 等于.2.若 ABC 的三内角A， B， C 满足 sin A2sinCcos B，则 ABC 为三角形.3.若 ABC 的三边长分别为4， 5， 7，则 ABC 的面积， 内切圆半径.4.若 ABC 的三内角 A，B， C 成等差数列，则cos2 A + cos2 C 的最小值为.5.一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60o 处；行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东15o 处 . 这时船与灯塔的距离为km.6.在 ABC 中，已知AB = l， C = 50 ，当 B =时， BC 的长取得最大值 .三、解答题 .1.如图 AB
5、C 中，点 D 在边 BC 上，且 BD =2， DC =1， B = 60， ADC = 150 ，求 AC 的长及 ABC 的面积 .2. 在 ABC 中， A = 45 ，B : C = 4 : 5 ，最大边长为10，求角 B，C，ABC 外接圆半径 R 及面积 S.;.3. 在 ABC 中， a， b， c 分别为角A， B，C 的对边，且 4 sin 2 B Ccos2 A7 .22( 1) 求 A 的大小；( 2) 若 a =3 ， b + c = 3，求 b 和 c 的值 .4. 海中有一小岛， 周围 3.8 海里内有暗礁 . 一军舰从 A 地出发由西向东航行， 望见小岛B 正好
6、在北偏东75的位置；航行8 海里到达 C 处，望见小岛B 在北偏东 60的位置 . 若此舰不改变舰行的方向继续前进，此舰有没有触礁的危险？;.参考答案一、选择题 .1. C【解析】1 bc sin A = 163 ，2 sin A = 1 ， 2A = 30 ，或150.2. D【解析】a2 sin A，=b 3 sin A 2 sin A ，sin B3 sin B = 3 ， B = ，或 22333. C【解析】 sin( A + B) + sin C = 2sin C，不一定为常数. cos( B + C) + cos A = - cos A + cos A = 0 ， tan ABt
7、an C= tan 90Ctan C = cotCtan C = 1.222222 和为常数 .4. C【解析】A = Bsin A = sin B，若 sin A = sin B，又A + B ， A = B.5. C【解析】原式可化为a2 + ab + b2 - c2 = 0 ， cos C = a 2b 2c2= -1 ，2ab2 C 120.6. C【解析】 bsin A = 10 sin 30 =5，且 4 5， ABC 不存在 .bsin A = 10 sin 30 = 5，且 56 10，;. ABC 有两解 .错误 !未找到引用源。 A = 150 且 ab， ABC 不存在
8、. A = 150 且 a b， ABC 有一解 . 由已知，得 C = 105 .c a,当时，各边有正数解.c b ABC 有一解 . 符合题条件.7. B【解析】sin( A + B) sin( A - B) = sin 2 C， sin C sin( A - B) = sin2 C. C ( 0， )， sin( A - B) = sin C = sin( A + B) . sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B， cos A sin B = 0， A =.2 ABC 为直角三角形.8. A【解析】 2b = a + c
9、， 4b2 = a 2 + c2 + 2ac.2222 cos B = acb= 1 + 3b .2ac2ac 2b = a + c 2ac . ac b2 . cos B 3 - 1= 1 ，2 2 B 0， .3;.9. A【解析】cos A cos B = cos( 120o- B) cos B=(- 1 cos B +3sin B) cos B22= - 1 ( 1 + cos 2B)+31 sin( 2B - 30o)-1 ，sin 2B =4424 B ( 0o， 120o) ， - 30 2B - 30 210. 由图象知 cos A cos B1 ，1 .2410. C【解析】
10、 由题知 1ab sin C = 1( a2 + b2 - c2) ，24 sin C = a 2b 2c2= cos C，2ab C =.4二、填空题 .1. - 1 . 4【解析】因为 sin A : sin B :sin C = a :b :c = 2 :3 :4，所以设a = 2k， b = 3k， c = 4k.cos C = a2 b2c2= 4916 = - 1 .2ab22342. 等腰 .【解析】 sin A = sin( B + C) = 2sin C cos B， sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B， tan B = tan
11、 C， B， C( 0， ) ， B = C.即为等腰三角形.63. 4 6 ；.2【解析】 cos = 425249 = - 1 ，2455 sin= 26 .5;. S = 1 45 26 = 4 6 .25 (4 57) r46 ，2 r6 .24. 1 .2【解析】 C + A = 2B， B = .3设 A = - x， C = + x，则33cos2 A + cos2 C = cos2（ -x） + cos2（ + x） =（ 132 +cos x +sin x）3322（ 1cos x -3sin x） 2 = 1 cos2 x+ 3 sin2 x = 1 + sin2 x 1
12、.2222225.30 2.【解析】ACBC，sin 45sin 30BC = 1 2 60 = 30 2 .26.40 . 【解析】ABBC，sin Csin( B C) BC = l sin(50B) l，sin 50sin 50 sin( 50+ B) = l 时， BC 最长，此时 B 三、解答题 .1. 【解】在 ABC 中， BAD = 150 o- 60o= 90o， AD = 2sin 60o =3 .在 ACD 中， AC2 =(3 ) 2 12 23 1 cos150o= 7 ，AC = 7 .AB = 2cos 60= 1 ， SABC =1 1 3sin60 = 33
13、.242. 【解】由 A + B + C = 180 ， A = 45 ，可得 B = 60 ， C = 75 .由正弦定理， R =106 2 ).= 5(2 sin 75;.由面积公式，11S = bcsin A =c 2Rsin Bsin A = 75 25 3 .223. ( 1) 【解】由 4 sin2 BCcos2 A7 及 A + B + C = 180 ，22得 21- cos( B + C) - 2cos2 A + 1 = 7 ， 2 4( 1 + cosA)- 4cos2 A = 5 ，即 4 cos2 A- 4cos A + 1= 0 ， cos A = 1 ， 2 0
14、A 180， A = 60 .( 2) 【解】由余弦定理，得cos Ab2c2a 2，2bc cos A = 1，b2c2a2=1 ，22bc2 ( b + c) 2 - a2 = 3bc.将 a =3 ， b + c = 3代入上式，得 bc = 2.b，b1，b2，c 3由得或bc，c2c1.24.【解】如图，过点B 作 BDAE 且交 AE 于 D.由已知， AC = 8， ABD = 75o， CBD = 60o.在 RtABD 中， AD = BD tanABD = BD tan 75o.在 RtCBD 中， CD = BD tan CBD = BD tan 60o. AD - CD = BD ( tan 75o- tan 60o) = AC = 8， BD =8= 4 3.8.tan75tan 60 该军舰没有触礁的危险.;.