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1、课题 4.6.1两角和与差的余弦、正弦、正切( 一)教学目标( 一 ) 知识目标1. 平面内两点间的距离公式；2. 两角和的余弦公式 .( 二 ) 能力目标1. 掌握平面内两点间的距离公式和两角和的余弦公式；2. 能用以上公式进行简单的求值.( 三 ) 德育目标1. 培养学生的应用意识；2. 提高学生的数学素质.教学重点余弦的和角公式及简单应用教学难点余弦的和角公式的推导教学方法启发引导式1. 引导学生建立一直角坐标系xoy，同时在这一坐标系内作单位圆O，并作出角 、与 ，使角 的始边为 ox，交 O于点 P1，终边交 O于点 P2；角 的始边为 OP2，终边交 O于 P3，角 的始边为 OP
2、1，终边交 O于点 P4. 并引导学生用 、 的三角函数标出点 P1、P2、 P3、 P4 的坐标 .( 这一过程也可用多媒体课件处理，让学生仔细观察作图过程，并加以领会 .) 并充分利用单位圆、平面内两点间的距离公式，使学生弄懂由距离等式P1P3 P2P4化得的三角恒等式， 并整理成为余弦的和角公式，从而克服本节课的重点.2. 强调两角和的三角函数的意义，例如cos （ ）是两角 与 的和的余弦，它表示角 终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比. 在一般情况下， cos（ ） cos cos ，并变换 、 的取值，以突出本节课的重点 . 教具准备幻灯片三张第一张：（4.6.1 A）第二
3、张：（ 4.6.1 B）第三张：（4.6.1 C ）练习题：1. 求下列三角函数值 cos（ 45 30） cos105 第 1页共 6页2. 若 cos cos3 , cos()1，求 sin sin .43. 求 cos 23 cos 22 sin 23 sin 22的值 .4. 若点 P( 3，4) 在角 终边上，点 Q（ 1， 2）在角 的终边上，求 cos（ ）的值 .教学过程 . 课题导入师：在这一章的第一部分咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角 、的三角函数值，如何求 、 或 2 的三角函数值 ?即： 、 或 2的三角函数值与
4、、 的三角函数值有什么关系 ? . 讲授新课( 打出幻灯片A，让同学观察)师：我们在初中已经求过数轴上两点间的距离，下面请同学们回忆两点间( 数轴上 ) 的距离是如何求得的?( 学生作答，老师板书)生： ( 口答 ) 数轴上两点之间的距离就等于这两点所表示的两个数的差的绝对值.师： ( 板书 ) AB x2 x1师：那么，我们是否可以用点的坐标来求平面内任意两点之间的距离呢?下面我们一起来看幻灯片 .( 结合图形讲解并推导出平面内两点间的距离公式).师：在这个坐标平面内有两点 P1（x1 ，1）， P2（x2， 2），不妨从点 P1， P2 分别作 x 轴的垂线 P1M1、 P2M2，与 x
5、轴交于点 M1（ x1， 0）， M2（ x2， 0）；再从点 P1，P2 分别作 轴的垂线 P11，P22，与 轴交于点 1（ 0，1），N2（ 0，2）. 直线 P11 与 P2M2 相交于点 Q，那么： P1Q M1M2 x2 x1， QP2 N1N2 2 1 .于是由勾股定理，可得 P1P2 2 P1Q 2 QP2 222 x2x1 21由此可得平面内P1（ x1， 1）， P2（ x2， 2）两点间的距离公式： P P (x2 _ x1 )2( y2 y1 )212师：用此公式可将坐标平面内任意两点间的距离用其坐标求得.例如：平面内（ 2， 1）， （ 3， 5）AB则： AB(3
6、2)2(5 1) 217( 利用两点间的距离公式，推导两角和的余弦公式)师：接下来，我们继续考虑如何运用两点间的距离公式，把两角和的余弦cos（ ）用 ， 的三角函数来表示的问题 .首先，我们来回忆一下三角函数的定义.生 ( 口答 ) ：设 是一个任意角， 的终边上任意一点P 的坐标是（ x， ），它到原点第 2页共 6页的距离是 r (r| x |2| y |2x2y 20) 那么：sinyxy.; cos; tanxrr( 打出幻灯片 B，结合图形讲解并推导出两角和的余弦公式)师：在直角坐标系xoy 内作单位圆 O，并作出角 ， 与 ，使角 的始边为 ox，交O于点 P ，终边交 O于点
7、P ；角的始边为 OP，终边交 O于点 P ；角 的始边为 OP，12231终边交 O于点 P4，则点 P1， P2， P3，P4 的坐标分别是：( 师生共答 ) ： P1（1， 0），P2（ cos ， sin ），P3（ cos （ ）， sin （ ），P4（ cos （ ）， sin （ ） .师 ( 板书 ) ：由两点间的距离公式可得： P Pcos() 12sin2()13 P2P4cos() cos 2sin() sin 2又由 P1P3 P2P4，得 cos （ ） 1 2 sin 2（ ） cos （ ） cos 2 sin （ ） sin 2生：展开并整理，得2 2cos
8、（ ） 22（ cos cos sin sin ）即： cos （ ） coscos sin sin 师：这一式子充分说明了两角和的余弦cos （ ）与 ， 的三角函数cos ，cos ，sin ， sin 的关系 .即：两角和的余弦公式为：cos（ ） coscos sinsin（ C（）这个公式对于任意的角， 都成立 .但要注意： cos （ ）是两角 与 的和的余弦，它表示角 终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比 .例如：当,时,36cos()cos()cos2036coscoscoscos131362223 cos（ ） cos cos 即，不能把cos（ ）按分配律展开，应按
9、两角和的余弦公式展开.如： cos() coscossinsin1331coscos6222033636236第 3页共 6页 . 课堂练习( 打出幻灯片C，让学生板演练习)生： ( 板演 )解： cos （ 45 30） cos45 cos30 sin45 sin30 23216222222 cos105cos(6045 )cos 60 cos45 sin 60 sin 4512322622222师 ( 讲评 ) ：从这两道练习题可看出一些非特殊角的三角函数值可通过特殊角的三角函数值求得 .如：中 cos （45 30） cos75 62中 cos105 226275， 105角均非特殊角，
10、但其可化为两特殊角之和，所以其余弦值不必通过查表，只要利用两角和的余弦公式便可求出.另外， cos105 cos （ 180 75） cos75 生： 2 解：由 cos（ ） cos cos sin sin 得： sin sin cos cos cos（ ）将 cos cos 34cos （ ） 1 代入上式可得： sin sin 14师：这一练习提示我们应熟练掌握两角和的余弦公式，以便灵活应用其解决一些问题.2生： 3 解： cos23 cos22 sin23 sin22 cos （23 22） cos45 2生： 4 解：由点 P（ 3，4）为角 终边上一点；点Q（ 1， 2）为角 终边
11、上一点，得： cos 3 ， sin 4；55255.cos,sin55 cos （ ） cos cos sin sin （ 3） （ 2 5 )4）555第 4页共 6页(5 )2 555师：对于此类习题，首先要仔细分析题意，寻找突破口，以便求解. . 课时小结1. 平 面 内 P1 （ x1 ， 1 ） ， P2 （ x2 ， 2 ） 两 点 间 的 距 离 公 式 ： P1P2 ( x2x1 ) 2( y2y1 ) 22. 两角和的余弦公式：cos （ ） cos cos sin sin (C（ ） ）3. 以上两公式的推导及应用 . . 课后作业( 一 ) 课本 P40 习题 4.63
12、.(3)(4)(6)(8)( 二 )1. 预习内容： P352. 预习提纲：(1) 将公式 C（ ） 中的 用 代替，看会得到什么新的结果?(2) 将公式 C中的 用代替，看会得到什么新的结果?（ ）2板书设计4.6.1两角和的余弦两角和的余弦公式及推导一、平面内两点间的距离公式推导cos() cos cos若 P1（ x1， 1）， P2（ x2， 2）| AB|=| x2- x1|sinsin则| P1 P2 |(x2 x1 )2( y2 y1 )2三、例题讲解复习回顾二、两角和与差的三角函数数轴上两点间距离备课资料1. 下列命题中的假命题 是 ( )A. 存在这样的 和 的值，使得cos
13、 （ ） cos cos sin sin B. 不存在无穷多个和 的值，使得cos （ ） cos cos sin sin C. 对于任意的 和 ，都有cos （ ） cos cos sin sin . 不存在这样的 和 值，使得cos （ ） cos cos sin sin 答案： B2. 在 ABC中，已知 cos A cos B sin A sin ，则 ABC一定是钝角三角形吗？解：在 ABC中， 0C 且 AB C 即： A B C由已知得 cos A cos B sin A sin B 0即： cos （ A B） 0 cos（ C） cos C 0即 cos C 0 C一定为钝角第 5页共 6页 ABC一定为钝角三角形.教学后记第 6页共 6页