高三数学教案组合教案.docx

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1、 10.3 组合一、内容归纳1、知识精讲(1)组合从 n 个不同元素中， 任取 m(m n) 个元素并组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。(2)组合数从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符合C nm 表示。组合数公式为m=Anmn(n1)(n2)(nm 1)C nAmm=m!这里， m， n N* ，并且 m n ，组合数公式还可以写成m=n!0C nm!(nm)!规定 C n =1(3)组合数的性质 C nm =C nn mC nm 1 =C nm +C nm 12、重点难点：组合概念的理解及应

2、用3、思维方式：与排列问题进行类比思考4、特别注意：分类时标准应统一，否则易出现遗漏和重复二、问题讨论例 1、（ 1）求值 C n5nC n91n（2）已知117，求 C8mC 5mC 6m10C 7m5nn解：（ 1）5n04n5 ，nN ， n4或 59nn19n0当 n=4 时，原式C 41C 555 。当 n=5 时，原式C50C 6416 。（2）本题运用公式 C nmn!，将已知等式转化为关于m 的一元二次方m! nm !程，解方程并结合m 的取值范围确定m 的值，最后计算 C8m解： m 的取值范围为m0m 5, mZ由已知， m! 5m !m! 6m !77m ! m!5!6!

3、107!即 6010 6m7 m 6mm 223m420 ，解得 m=21 或 m=2但 m0,5，m21，舍去第 1页共 4页C8mC 8228例 2( 化 P176 例 1)、某外 有 9 人 ,每人至少会英 和日 中的一 ,其中 7 人会英 ,3 人会日 ,从中 出会英 与日 的各 1 人 ,有多少种不同的 法？解：由于7 3=10 9 ，所以 9 人中必有 1 人既会 英 又会日 从只会英 的6 人中 1 人，只会 日 的 2 人中 1 人，有 N 1=6 2=12 既会英 又会日 的那位 定，其余8 人中 1 人，有 N2 =1 8=8由分 数原理得N= N 1+ N 2 =20例

4、3( 化 P176 例 2)、 集合 A 1 ，2，3， ， 10 ，（ 1） A 的 3 个元素的子集的个数 n，求 n 的 ；（ 2） A 的 3 个元素的子集中， 3 个元素的和分别为 a1， a2， ， an，求 a1 a2 a3 an 的 解（ 1） A 的 3 元素子集的个数 n C103 120（ 2）在 A 的 3 元素子集中，含数k（ 1k10）的集合个数有C92个，因此 a12a2 an C9 （ 1 2 3 10） 1980【 述】 在求从 n 个数中取出 m（ mn）个数的所有 合中各 合中数字的和 ，一般先求出含每个数字的 合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个

5、数字之和与个数之 便是所求 果例 4( 化 P176 例 3)、从 1， 2， ， 30 前 30 个自然数中，每次取不同的三个数，使 三个数的和是 3 的倍数的取法有多少种？解：令 A1 ，4，7，10，28 ，B2 ，5，8，11，29 ，C 3 ，6，9，30 成四位数的方式有以下四 符合 意：A，B，C 中各取一个数， 有 C101C101C101种； 在 A 中取 3 个数，有 C103种； 在 B 中取 3 个数，有 C103种； 在 C 中取 3 个数，有 C103种，故由加法原理得：C101C101C1013C103 1360 种【 述】 按元素的性 分 是 理 限制条件的 合

6、 的常用方法， 于某几个数的和能被某数整除一 的 ，通常是将整数分 ，凡余数相同者 同一 例 5、 路上有 号 1，2，3， 10 的十只路灯， 用 又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同 关掉相 的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求 足条件的关灯方法有多少种？解： 等价于在七只亮着的路灯 生的六个空档中放入三只熄掉的路灯，因此，所求的方法种数 C 36 =20【思 点拔 】 注意插空法的 用。解决一些不相 ，可以先排一些元素然后第 2页共 4页插入其余元素，使问题得以解决。例 6(优化设计P176 例 4)、如图 ,从一个 3 4 的方格中的一个顶点的最短路线有几条 ?A解：

7、把质点沿网格线从点A 到点 B 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，因此，本题的结论是：C 7335 【深化拓展 】 (优化设计 P176)1、某城市由 n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如图所示，要从 A 处走到 B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从 A 到 B 需要走（ n+m-2）段，而这些段中必须有东西方向的（ n1）段，其余的为南 北方向的（ m-1）段，所以共有AC mm n12 = Cmn 1n 2 种走法。2、从一楼到两楼楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可

8、以一步上两级，规定用 8 步走完楼梯的方法种数是A 到对顶顶点BBB分析：有6 步走 1 级，有 2 步走 2 级，则 C8228备用题 :例 7、用正五棱柱的 10 个顶点中的 5 个做四棱锥的 5 个顶点，共可得到多少个四棱锥？解：解法 1 直接法：共面而不共线的四点可成为四棱锥的底面，再在平面外找一点为顶点就形成了四棱锥，于是可从四棱锥的底面四点着眼，将构成棱锥的5 个顶点的取法分类。按照构成四棱锥的底面四点分为以下四类；(1)四点取在棱柱的底面上有412C 5 C 5 =50 个；(2)四点取在棱柱的侧面上有5C 16 =30 个；(3)四点取在棱柱的对角面上有5C 16 =30 个；

9、(4)四点取在以过一个底面中的一条对角线和另一个底面中与其平行的一边所确定的面上有 2 5C 16 =60 个。所以共可组成50+30+30+60=170 个四棱锥。解法 2 间接法 . C5中去掉五点共面和无四点共面的两种情况，算式为 C551010 -2C 51-4 4C 5 =170（个）。第 3页共 4页【思维点拔 】几何问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算,漏算。另外应注意排除法的应用。从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种常用的间接解题的方法 .三、课堂小结：1、组合数公式有两种形式， (1)乘积形式； (2)阶乘形式。 前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，注意公式的倒用。即由n!写出 C mn 。m! (nm)!2、解受条件限制的组合问题，通常有分组法和排除法。3、组合问题的解法与排列问题类似，除注意两个计数原理的运用外，还要恰当地选择直接法或间接法。第 4页共 4页