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1、数列存在性问题的分析与解答1. 问题呈现题目： 已知正项数列的前项和为，且.（1）求的值及数列的通项公式；（2）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.2. 分析与解答分析 ：第（ 1）问根据数列通项anSnSn 1 n 2很容易求出；关键是第（ 2）问中根据第（ 1）问的结论 an2n ，可得 cosan 1cos(n1)( 1)n 1 ，则可考虑分离参数，2令 bn111)(11an1则需要分析 bn 的单调性以确定 bn 的最值 . 最后，(1)(1)a1a2an需要考虑 n 为奇数和偶数进行分类讨论 .解（1）由 Snan (an2)4.当 n1时
2、， a1S1a1 (a12)a12 或 a10（舍去）4，解得当 n 2 时，由 anSnSn 1an (an2)an 1(an 12)an2an 122(anan 1) ，44 an0 ， anan 10 ，则 anan 12 ， an是首项为2，公差为2 的等差数列，故an2n（2）由 an2n ，得 cosan 1cos(n1)(1)n 1 ，2设 bn1(111(11an，则不等式等价于(1)n 1bn .)(1)1a1a2anbn 1an12n12n2bn11an 11112n3(2n1)(2n3)an 12n24n28n44n28n31， bn0 ， bn 1bn ，数列bn单调递增 .假设存在这样的实数，使得不等式 (1)n1bn 对一切 nN * 都成立，则 当 n 为奇数时，得(bn )minb123 ；3 当 n 为偶数时，得(bn )minb285 ，即8 5 .1515综上，( 8 5 , 23 ) ，由是非零整数，知存在1满足条件1533. 题后反思针对这类数列的存在性问题，往往需要进行分类参数并构造数列，判断数列的单调性可用比商法或作差法，题目中出现三角函数往往要考虑其周期性，涉及1 n 往往需要对 n 为奇数和偶数进行分类讨论 .