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1、最新教学推荐课时达标第 60 讲不等式的证明 解密考纲 不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法， 还常用基本不等式证明不等式或求最值1已知 a， b 都是正数，且a b，求证： a3 b3a2b ab2.证明( a3b3) ( a2b ab2) ( a b)( a b) 2.因为 a， b 都是正数，所以a b0.22又因为 a b，所以 ( a b) 0. 于是 ( a b)( a b) 0，即 ( a3 b3) ( a2b ab2 )0 ，所以 a3 b3a2b ab2 .2222222已知 ， ，都是正数，求证：a b b c c a.a b ca b cabc证明因为 b
2、2 c22bc， a20，所以 a2( b2 c2) 2a2bc，同理， b2( a2 c2) 2ab2c，c2( a2 b2) 2abc2，相加得2222222222( a b b c c a ) 2a bc 2ab c2abc ，从而 a2b2b2c2 c2a2 abc( a b c) 由 a，b， c 都是正数，得a b c0，a2 b2b2c2 c2a2因此c abc.abb3已知， ，a. (0 ， ) ，求证： 2 ab 3 a b c 3abca bc23证明欲证 2a b ab3 a bc3abc ，233只需证 a b 2ab a b c3abc，3即证 c 2 ab3 ab
3、c， a， b，c (0 ， ) ， c 2 ab cab33ab3 c ab ab 3abc，3 c 2ab3 abc成立，故原不等式成立114设 a， b 为正实数，且a b 2 2.(1) 求 a2 b2 的最小值；(2) 若 ( a b) 24( ab) 3，求 ab 的值1111222解析(1) 由 22a b2ab，得 ab 2，当 a b 2时取等号故 a b 2ab1，1最新教学推荐2当 a b 2 时取等号所以 a2b2 的最小值是1.2311 211 2(2)由 ( a b) 4( ab)，得 a b 4ab，即 a b 41ab4ab，从而 ab ab2.11又 a，b
4、为正实数，所以 ab ab2，所以 ab ab 2，所以 ab 1.5已知函数f ( x) | x| |2 x 1| ，记 f ( x) 1 的解集为 M.(1) 求 M；21(2) 已知 a M，比较 a a 1与 a的大小x 1， x0，3x1解析(1) f ( x) | x| |2 x 1| 1， 0 1，0，11得 x或 0x 13x 11 x 1 1，解得 0x2，故 M x|0 x2 (2) 由 (1) 知 0 2，a因为21 a3 a2 a1a 1a2 1a a 1 a，aaa 1a2 121当 0a1 时，a0，所以 a a 1a； 1211当 a1 时，aaa 0，所以 a2
5、 a 1 a；a 1a2 121当 1a0，所以 a a 1a.2 1综上所述，当 0a1 时， a a 1a；当 a1 时， a2 a 1 1a；2最新教学推荐2 1当 1aa.6已知 a， b，c0， ab c 1. 求证：(1) a b c 3；1113(2) 3a 1 3b 1 3c 1 2.证明(1) 由柯西不等式得 (abc) 2(1 a1b1c ) 2(1 2 1212) (a) 2 (b) 2 (c) 2 3，1111当且仅当，即 ab c 时，等号成立，abc3 a b c 3.(2) 由柯西不等式得(3 a1) (3 b 1) (3 c 1)1113a 1 3b 1 3c 1 3a 111 3c 1121 3b 13 13 1 9( 当且仅当a b c33 1abc时取等号 ) ，又 ab c 1， 61113c 1 9，3a 1 3b 11113 3a 1 3b 1 3c 12.3