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1、第 15 课时分数指数幂教学目标 ：使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.教学重点 ：证明对数运算性质.教学难点 ：对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.教学过程 ：教学目标(一 )教学知识点1.分数指数幂的概念.2.有理指数幂的运算性质.(二 )能力训练要求1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.(三 )德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教学重点1
2、.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教学难点对分数指数幂概念的理解.教学方法发现教学法1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教具准备幻灯片二张第一张：回顾性质(记作 2.5.2 A)第二张：变形举例(记作 2.5.2 B)教学过程 .复习回顾师上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质 . (给出幻灯片 2.5.1 A)第1页共 12页整数指数幂运算性质根
3、式运算性质(1)am an=am+n(m,n Z)(2)( am)n=am n( m,n Z)nan a,n为奇数 ;.为偶数| a |,n(3)( a b)n =anbn(n Z)师对于整数指数幂运算性质(2)，当 a 0， m,n 是分数时也成立 .(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对 a 0，m,n 是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质 (2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备)师对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an 的幂指数 n 与根式的根指数n 的一致性 .接下来，我们来看几个例子 .(打出幻灯片 2.5.2 B)( 说明：对于例子可设计为
4、填空题，让学生参与得出)例子：当 a 0 时 5 a105 (a 2 )5a 210a 512 3 a123 (a 4 )3a4a 322 3a23a 3(a 3 )311a(a 2 ) 2a 2师上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子、用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. .讲授新课1.正数的正分数指数幂的意义ma nnam(a 0,m,nN *, 且 n 1)师大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化 .另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0 的分数指数幂作如下规定 .2.规定 (板书 )m1(1)
5、a nm (a 0,m,nN *,且 n 1)a n(2)0 的正分数指数幂等于 0.(3)0 的负分数指数幂无意义 .师规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当 a 0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质 .第2页共 12页3.有理指数幂的运算性质(板书 )(1)ar as=ar +s(a 0,r ,s Q)(2)( ar )s=ar s(a 0,r,s Q)(3)( a b)r =ar br(a 0,b0,r Q)师说明：若a 0，p 是一个无理数，则ap 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于
6、无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容 .4.例题讲解211163例 2求值： 8 3，1002 ,()-3,() 4 .481分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.22=23 2解： 8 3=(23)3=22=431121)1100 2=(10 2)(2 =102=10-1=10( 1 )-3=(2- 2)-3 =2(- 2) (-3)=26=64416324 (3)2274=(4)-3( )=(3=8138例 3用分数指数幂的形式表示下列各式：a2a ,a3 3 a2 ,aa(式中 a 0)115解：
7、 a2a =a2a 2 =a2+ 2 =a 2a3 3 a 223211=a3 a 3 =a 3 =a 311313a a =(a a 2 ) 2 =(a 2 ) 2 =a 4师为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题 . .课堂练习课本 P70 练习1.用根式的形式表示下列各式(a 0)1332a 5 ， a 4 ， a 5 ， a3第3页共 12页1解： a 5 5 a3a 4 4a33a 5 5 a2a 3 3 a3 15a32 13a 22.用分数指数幂表示下列各式：（ 1） 3 x2（2） 4 (ab)3（ ab 0）（ 3） 3 (m n) 2（
8、4）(mn) 4 （m n）（ 5）p 6q5 （ p 0）（6） m3m2解： (1)3x 2 x 33(2)4(ab)3（ a b） 4n) 22(3)3(m（ m n） 34(4)(mn) 4（ m n） 2 （ m n） 21655(5)p6q5 （ p 0）（ p6 q5） 2 p 2 q 2 p3 q 2m315(6) m3 m2 m 2m3.求下列各式的值：32(1)25 2（ 2） 27 3（ 3）（ 3633） 2（ 4）（25 ） 249442（ 5）9 3（ 6） 23 3 1.5 6 1281第4页共 12页3(523解： (1) 252)2 53 125223327
9、3(33 ) 32 32 9(2)3363636363216()2()2222(36(3)497( 7)7)73343253523523532 3238()2)2(2(4)4( 22)2)5)53125424214214221(5)819 334( 32 ) 3 234233(34 3 3 ) 4332341211= (34 ) 4(3 3 ) 43 3 636 31(6)23 3 1.5 6 12 2 3 2 （ 321111111） 3 （ 3 22） 6 2 3 2 3 3 2 3 3 6 2 3 11111） 2111111 2 36（ 2 2 3 2 3）（ 3 2 3 3 3 63
10、3 3 236要求：学生板演练习，做完后老师讲评. .课时小结师通过本节学习， 要求大家理解分数指数幂的意义， 掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质 . .课后作业（一） 1.课本 P70 习题 2.52.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（ 1） 3 a 4 a（ 2） a a a（ 3） 3ab2a 2b（ 4） 4 ( a3b3 ) 211117解：（ 1） 3 a4 a a 3a 4a 34a121111111117（ 2）a a a a（a a 2 ） 2 2 a 2 a 4 a 8 a 2 4 8a81（ 3） 3ab2a 2b （ ab2a2b）
11、 321（ 4） 4(a3b3 ) 2 （ a3 b3） 4 （ a3 b3） 23.求下列各式的值：第5页共 12页164 ）(1) 2 2（ 2）（493（ 4）（ 125 ）（ 3） 10000 42712231121解：（ 1） 2 2 （ 112） 2 112 1164121818 1728222)(（ 2）（ 49 ）（ 72 ） （ 7 ）（ 7 ） 8333444104 ( )10 30.001(3)10000（410 ）23223 (21253535335)5 29）（） （）3（）(4) （333）3327254.用计算器求值 (保留 4位有效数字 )121(1)5 3（
12、2） 321 3（ 3） 73 2413（ 4） 67 5(5)8 3 2（ 6） 25 8412解：（ 1） 5 3 1.710(2)321 3 46.8814（ 3） 732 0.1170(4)67 5 28.9013（ 5） 8 3 2 2.881（ 6） 25 84 0.08735（二） 1.预习内容：课本P692.预习提纲：(1)根式的运算如何进行?(2)利用有理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧?板书设计 2.5.2 分数指数幂1.正分数指数幂意义ma n n a m （a 0， m， nN* ，n 1）2.规定第6页共 12页m(1)an 1m （ a0， m， n N
13、* ， n1），a n(2)0 的正分数指数幂等于0，(3)0 的负分数指数幂无意义.3.有理指数幂性质（ 1） ar as ar s（ 2）（ar） s ars（ a0， r， s Q）（ 3）（a b） rar br（ a 0， b 0，r Q ）4.例题例 1例 25.学生练习教学目的：1. 理解分数指数幂的概念 .2. 掌握有理指数幂的运算性质 .3. 会对根式、分数指数幂进行互化.4 培养学生用联系观点看问题 .教学重点： 1. 分数指数幂的概念.2. 分数指数幂的运算性质 .教学难点： 对分数指数幂概念的理解.授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：
14、教材分析：本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明 “若 a0， p 是一个无理数， 则 a p 表示一个确定的实数”为高中三年级限定选修课学习导数时做准备在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律. 在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教学过程 ：一、复习引入：1整数指数幂的运算性质：第7页共 12页am a na m n ( m,nZ )(am ) na mn ( m,nZ
15、 )(ab) na n b n (nZ )2根式的运算性质：当 n 为任意正整数时，( n a ) n =a.当 n 为奇数时， na n =a；当 n 为偶数时， n a n =|a|=a(a0)a(a.0)npn am ，（ a 0）根式的基本性质：a mp用语言叙述上面三个公式：非负实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身 .n 为奇数时，实数a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身； n 为偶数时，实数a 的 n 次幂的 n次方根是 a 的绝对值 .若一个根式 (算术根 )的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
16、3引例：当 a 0 时10 5 a105 ( a 2 ) 5a2a 512 3 a123 ( a 4 ) 3a4a 322 3a 23a 3(a 3 )311a(a 2 ) 2a 2上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子、用到了推广的整数指数幂运算性质 (2). 因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.二、讲解新课：1. 正数的正分数指数幂的意义ma nn am( a 0, m,n N , 且 n 1)*要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化 .另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0 的分数指数幂作如下规定.2. 规定：m1 (1)an 0， ,
17、N*, 且 1)mam nna n第8页共 12页(2)0 的正分数指数幂等于0.(3)0 的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数. 当 a 0 时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用. 即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质 .3. 有理指数幂的运算性质 :a m a na m n (m, n Q)(am ) namn (m,nQ )(ab) na n b n (nQ )说明： 若 a 0，P 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.三、讲解例题 ：2
18、13例 1 求值： 8 3 ,1002 , ( 1) 3 , (16) 4 .481222解： 8 3(23 ) 332242 3112 (1 )10 11100 2(102 ) 2102101()16()3(2 2 ) 32( 2) ( 3)2664324 (3)22744)3()(383例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式：a 2a , a3 3 a2 , a a( 式中 a0)解： a 21215a a2 a 2a 2a 22211a3 3 a 2a 3 a 3a3a 3311313a a (a a 2 ) 2(a 2 ) 2a 4例 3 计算下列各式（式中字母都是正数）211115(
19、1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 )( 3a 6 b 6 );13(2)( m4 n8 )8 .第9页共 12页分析：（ 1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号（ 2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤13211115( 2)(m4 n8 )8(1)( 2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 )(3a 6 b6 )13211115(m 4 )8(n 8 )3解2(6)( 3)a 326 b236m3 ? n 34ab0m 24an3例 4 计算下列各式：(1)a 2(a 0);a 3a 2(2)( 325125
20、)4 5分析：（ 1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算（ 2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算解：a 2(1)a ? 3 a 2a 213a 2 ? a2212a235a 66 a5四、练习 ：课本 P14 练习1. 用根式的形式表示下列各式(2)(325125)4 5231(5 352 )542131535 4525421315345 24555125 412 55545.( )1332a 5 , a 4 , a 5 , a 31解： a 55 a第10页共12页3a 44a 331a 55a 35 a321a 33 a 23 a22. 用分数指数幂表示下列各式：(1)3x
21、2（） 4 (ab) 3（）（） 3( mn) 2（）(mn) 4 （ ）(5)p 6q 5（ ） (6)m3m2解： (1)3x2x33(2)4( ab) 3(ab) 42(3)3( mn) 2(mn) 31(4)( mn) 4(mn) 2 （ ）1655(5)p6q5 ( p0)( p 6 q5 ) 2p 2 q 2p 3 q 2m315(6)m3m 2m2m五、小结本节课学习了以下内容：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.六、课后作业 ：1. 课本 P75 习题 2.52. 用计算器求值 ( 保留 4 位有效数字 )121(1)5 3（）3213（） 73 2413（） 67 5(5)832（） 8412解：（） 5 3 . (2)3213 . 第11页共 12页14（） 73 2 . （ 4）67 5 . 13（） 8 3 2 . （）8 4 . 七、板书设计（略）八、课后记：第12页共12页