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1、第七课时线性规划（二）教学目标 ：使学生能够应用简单的线性规划解决生产实际中资源配置和降低资源消耗等问题，培养学生建立数学模型的能力。教学重点、难点： 数学模型的建立。教学过程 ：例 1：某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品1t 需煤9t，电力 4kw ，劳动力 3 个（按工作日计算） ；生产乙产品 l t 需煤 4t，电力 5kw ，劳动力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12 万元；但每天用煤量不得超过300 吨，电力不得超过 200 kw ，劳动力只有 300 个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多
2、的财富。分析：先设出每天生产甲、乙两种产品的产量分别为x t 和 y t，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题。解：设每天生产甲产品x t，乙产品y t，总产量S t，依题意约束条件为：9x 4y 3004x 5y 2003x 10y 300x 15y 15目标函数为S 7x 12y约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边界上的点（如图阴影部分）现在就要在可行域上找出使S7x 12y 取最大值的点 （ x，y）。作直线 S7x 12y，随着 S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为S12 ，可以看出，直线的纵截距越大， S 值也越大。从图中可以看出，当直线S 7
3、x12y 经过点 A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值。4x 5y 200 0解方程组3x 10y 300 0得 A（ 20， 24），故当 x 20， y 24 时，Smax 7 20 12 24 428（万元）答：每天生产甲产品 20 t，乙产品 24 t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富 428 万元。评析 ：解决简单线性规划应用题的关键是：（ 1）找出线性约束条件和目标函数；（ 2）准确画出可行域； （ 3）利用 S 的几何意义，求出最优解。第 1页共 3页例 2：一位农民有田2 亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400 kg；若种花生，则每亩每期产量为1
4、00 kg，但水稻成本较高，每亩每期需240 元，而花生只要80 元，且花生每 kg 可卖 5 元，稻米每 kg 只卖 3 元，现在他只能凑足 400 元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？分析：最优种值安排问题就是求非负变量x、 y 满足条件x y2 和 240x 80y 400 时，利润 P 达到最大。解：如图所示，设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得xy 2240x 80y 400x 0y 0而利润 P（ 3 400 240） x（ 5 100 80） y 960x 420y（目标函数）可联立x y = 2得交点 P（1.5， 0.5）240x 80y = 400故当
5、 x 1.5，y 0.5 时， Pmax 960 1.5 420 0.51650即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得到利润最大。例 3：要将两种大小不同的钢板截成 、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型规格规格规格钢板类型第一种钢板第二种钢板今需要 A、 B、C 三种规格的成品分别为15、 18、 27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，2x y 15x2y 18则x3y 27x0y0作出可行域（如右图） ：（阴影部分）目标函数为 zx y作出一组平行直线x y t，其
6、中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x 3y 27 和直线 2xy 15 的交点 A（ 185 ，39575 ），直线方程为x y 5 .第 2页共 3页1839由于 5和 5都不是整数，而最优解（x， y）中， x， y 必须都是整数，可行域内点18 39（ 5 ， 5 ）不是最优解 .经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x y 12，经过的整点是B(3， 9)和 C(4， 8)，它们都是最优解 .答 :要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种: 第一种截法是截第一种钢板 3张 .第二种钢板9 张；第二种截法是截第一种钢板4 张、第二种钢板 8 张.两种方法都最少要截两种钢板共12 张.说明 ：在例 3 中，线性规划问题的最优解（18395， 5 ）不是实际问题的最优解，应使学生注意到具有实际意义的x， y 应满足 x N，y N.故最优解应是整点坐标。小结 ：处理简单的线性规划的实际问题时，需从题意中建立起目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型。练习 ：课本 P844，5作业 ：课本 P885，6教学后记 ：第 3页共 3页