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1、第二十五教时教材：复习四平面向量的数量积及运算律目的： 要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。过程：一、复习：1定义、其结果是一个数量。2a?b00 90 ；a?b=0= =90即 a b； a?b090 1803性质 154运算律二、 例题：1已知 |a| = 5， |b| = 8，a 与 b 的夹角为 60 ，求|a + b |解： a?b = |a|b|cos60 = 5 8 1 = 202 |a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = 129|a + b | =1292求证： |a + b | |a|
2、+ |b|证： |a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = |a|2 + |b|2 + 2|a|b|cos |a|2 + |b|2 + 2|a|b| = ( |a| + |b| )2即： |a + b | |a| + |b|3设非零向量 a、b、c、d，满足 d = (a?c) b(a?b)c，求证： a d证：内积 a?c 与 a?b 均为实数，a?d = a? (a?c) b(a?b)c = a? (a?c) ba?(a?b)c= (a?b)(a?c)(a?c)(a?b) = 0a d4已知非零向量a、 b，满足 ab，求证： b a 垂直于 a
3、+b 的充要条件是 |a| = |b|证：由题设： b a 与 a+b 均为非零向量必要性：设 b a 垂直于 a+b，则 (b a)(a+b) = 0又： (b a)(a+b) = b2a2 = |b|2|a|2 |b|2|a|2 = 0即： |a| = |b|充分性：设 |a| = |b|，则 (b a)(a+b) = b2a2 = |b|2|a|2 = 0即： (b a)(a+b) = 0(b a)(a+b)5已知 a、 b 都是非零向量，且a + 3b 与 7a5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。解：由 (a+ 3b)(7a5b) = 07a2+ 16a
4、 b15b2 = 0(a4b)(7a2b) = 07a230a b+ 8b2 = 0两式相减： 2a b = b2代入或得： a2 = b2设 a、b 的夹角为 ，则 cos = a bb 21| a | b |2 | b |22D= 606用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设 AB = DC = a , AD = BC = bACaABCD 为菱形 |a| = |b|bB AC BD = (b + a)(ba) = b2a2 = |b|2|a|2 = 0 AC BD7如图， AD、BE、CF 是 ABC 的三条高，求证： AD、BE、CF 相交于一点。证：设 BE、CF 交于一点 H，AAB = a, AC = b,AH = h,E则 BH = h a ,CH = h b ,BC = b aFH BHAC ,CH ABBDC (ha)b0(h a)b(h)h(ba) 0( ha)a0b a AH BC又点 D 在 AH 的延长线上， AD、BE、CF 相交于一点三、 作业：导学 ?创新 5.6第 1页共 1页