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1、名校名 推荐第 27 课时直线与圆的位置关系课时目标1. 会用代数方法和几何方法讨论直线与圆的三种位置关系2掌握求圆的切线的方法3初步学习、体会分类讨论的数学思想，养成严谨的学习态度识记强化直线与圆位置关系的判定有两种方法：代数法： 通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即 0，则相交；若有两组相同的实数解，即 0，则相切；若无实数解，即 0，则相离几何法： 由圆心到直线的距离d 与半径 r 的大小来判断： 当 dr 时，直线与圆相交；当 d r 时，直线与圆相切；当d r 时，直线与圆相离课时作业一、选择题 ( 每个 5 分，共 30 分 )221直
2、线 3x 4y 12 0 与 C： ( x 1) ( y1) 9 的位置关系是 ()B相交但直线不过圆心C相切D相离答案： D解析： 圆心(1,1) 到直线的距离d|3 141 12|19，C的半径r 3，则dC32425r ，所以直线与圆相离2设直线过点(0 ， a) ，其斜率为1，且与圆x2 y2 2 相切，则实数a 的值为 ()A4B2 2C 2D 2答案： C| a|解析：由题意，知直线方程为y ，即x 0. 又直线与圆相切， 所以2，a xya2所以 a 2.3圆 x2 y2 4x 4y 6 0 截直线 xy 5 0 所得的弦长等于()A.6 B.62C 1 D 5答案： A解析：
3、圆的方程可化为 ( x 2) 2( y 2) 2 2，则圆的半径 r 2，圆心到直线的距离 d|2 2 5|22212 2 ，所以直线被圆截得的弦长为2 r d 222 6.224与 C： x ( y 4) 8 相切并且在两坐标轴上截距相等的直线有()1名校名 推荐C 2 条 D 1 条答案： B5若过点 A(0 ， 1) 的直线 l 与圆 x2 ( y 3) 24 的圆心的距离为d，则 d 的取值范围为()A 0,4 B 0,3C 0,2 D 0,1答案： A解析： 圆 x2( y 3) 24 的圆心坐标为(0,3)，半径为 2，点 A(0 ， 1) 在圆外，则当直线 l 经过圆心时， d
4、最小，当直线l垂直于点 A 与圆心的连线时， d 最大，即 d 的最小值为0，最大值为022 4，所以 0,4d2 ( y 2)2 256直线 l 过点 ( 4,0) 且与圆 ( x 1)交于 A、B 两点，如果 | AB| 8，那么直线 l 的方程为 ()A 5x 12y 20 0B 5x 12y 20 0 或 x 4 0C 5x 12y 20 0D 5x 12y 20 0 或 x 4 0答案： D解析： 圆的半径为5，| AB| 8，圆心 ( 1,2) 到直线 l的距离为 3.当直线 l的斜率不存在时，因为直线l过点 ( 4,0)，所以直线 l 的方程为 x 4. 此时圆心 ( 1,2)到
5、直线 l的距离为3，满足题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y k( x 4) ，即 kx y 4k 0，则圆心 ( 1,2)到直线 l| k2 4k|的距离为3，解k2 15520之得 k 12，直线 l的方程为 12x y12 0，整理得5x 12y 20 0. 综上所述， 满足题意的直线l为 5x 12y20 0 或 x 4，故选 D.二、填空题 ( 每个 5分，共 15分 )7圆x2y2 4 0 在点(1 ，3) 处的切线方程为 _xP答案： x3y 2 0解析： 由题意，知圆心为 (2,0)，圆心与点 P连线的斜率为3，所以所求切线的斜率为 3，则在点 (1 ，3) 处的
6、切线方程为x3 20.3y8垂直于直线 2x y 1 0 且与圆 x2 y2 5 相切的直线的方程为 _ 答案： x 2y 5 0 或 x 2y 50解析： 设所求直线方程为x 2y 0，依题意 |0 20 m| m5，22 12 m 5.9以 (2 ， 1) 为圆心，截直线xy 1 0 所得的弦长为 22 的圆的方程是 _ C答案： ( x 2) 2 ( y 1) 2 4l222l解析： 已知弦长求圆的半径，利用r d 2， r 为圆的半径， 2为弦长的一半， d 为圆心到直线的距离|2 1 1|l2l 2 d12 12 2，2 2， r d 2 2，圆的方程为 ( x 2) 2 ( y 1
7、) 2 4.三、解答题10(12分) 设圆上的点 A(2,3)关于直线 x 2y0 的对称点仍在圆上，且直线x y 10 被圆截得的弦长为2 2 ，求圆的方程解： 设圆的方程为 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2，由题意，知直线x 2y0 过圆心，2名校名 推荐 a 2b 0. 又点 A在圆上， (2 a) 2 (3 b) 2 r 2. 直线 x y 1 0 被圆截得的弦长为 22，|a 1| ( 2) 2b2 r 2. 12 2 6a 14a由可得b 3或 b 7，r 2 52r 2 2442222故所求方程为( x 6) ( y 3) 52 或 ( x 14) ( y 7) 244
8、.(1) 求证：对任意的 m R，直线 l 与圆 C恒有两个交点；(2) 设 l 与圆 C相交于 A，B 两点，求线段 AB的中点 M的轨迹方程解： (1) 方法一：由已知可得直线l ： ( x 1) m y 1 0，直线 l 恒过定点 P(1,1) 又 12 (1 1) 2 15，点 P在圆内，对任意的 mR，直线 l 与圆 C恒有两个交点| 1 1 m| m| m|5，方法二：圆心C(0,1) 到直线 l 的距离为 d22| | 1m 1m 1m直线 l 与圆 C相交，对任意的mR，直线 l 与圆 C恒有两个交点(2) 如图所示，由 (1) ，知直线 l 恒过定点 P(1,1) ，且直线
9、l 的斜率存在又 M是 AB的中点， CM MP，点 M在以 CP为直径的圆上1221又以 CP为直径的圆的方程为( x2) ( y 1)4，点 的轨迹方程为(x12 (y 1)21x1) ) (M24能力提升12 (5分 ) 过点A(11,2) 作圆x2 y22x 4y 164 0 的弦，其中弦长为整数的共有_条答案： 32解析： 圆方程化为 ( x1) 2 ( y 2) 2 132，圆心为 ( 1,2) ，到点 A(11,2) 的距离为 12，最短弦长为 10，最长弦长为 26，所以所求直线条数为 22(25 10) 32( 条 ) 13 (15 分 ) 已知圆 C： ( x 1) 2 (
10、 y 2) 2 25，直线 l ： (2 m1) x ( m 1) y 7m4 0( m R) (1) 证明：不论 m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；(2) 求直线被圆 C截得的弦长最小时 l 的方程解： (1) 证明：直线方程可变形为 (2x7) (x 4) 0.ymy3名校名 推荐 mR，2 70x 3，x y， ?y1.x y 4 0直线 l必过定点 A(3,1)又圆 C： ( x 1) 2( y 2) 2 25 的半径为 5，而 (3 1) 2 (1 2) 2 525.点 A(3,1) 在圆 C内故 l 必与圆 C恒交于两点(2) 要使弦长最小，必须l AC.又圆心(1,2) 和定点(3,1) 所在直线l1 的斜率k1k 2.1 ，所以CA2l直线 l 的方程为 2x y 5 0.4