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1、课题 ： 7.4 简单的线性规划（三）教学目的：1. 能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题王新敞2. 增强学生的应用意识 . 培养学生理论联系实际的观点 王新敞教学重点： 根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解王新敞教学难点： 最优解是整数解王新敞授课类型： 新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程 ：一、复习引入：1二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 .（虚线表示区域不包括边界直线）王新敞由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点 (x,y)，
2、把它的坐标 （ x,y)代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0000,y )，从 Ax +By +C 的正负即可判断 Ax+By+C 0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把 原点 作为此特殊点）王新敞2. 目标函数 , 线性目标函数线性规划问题 , 可行解 ，可行域 , 最优解 :诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、 y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2 + 是欲达到最大值或最小值所x y涉及的变量 x、y 的解析式， 我们把它称为 目标函数 . 由于 t =2x+y
3、 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做 线性目标函数王新敞另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为 线性规划问题 . 例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数=2+在线性约束条件下的最大值和最小zx y值的问题，即为线性规划问题 .那么，满足线性约束条件的解 （ x, y) 叫做 可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域. 其中可行解A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) ( 一般是区域的顶点 ) 分别使目标函数取得最大值和最小值，它们
4、都叫做这个问题的最优解王新敞3用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（ 1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;（ 2）设 t =0，画出直线 l0 ;（ 3）观察、分析，平移直线l 0 ，从而找到最优解A(x0 , y0 ), B(x1, y1 ) ;（ 4）最后求得目标函数的最大值及最小值王新敞二、讲解新课：1. 第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？例 1 某工厂生产甲、乙两种产品. 已知生产甲种产品1 t ，需耗 A 种矿石 10 t 、B 种矿石 5 t 、煤 4 t ；生产乙种产品需耗A 种
5、矿石 4 t 、 B种矿石 4 t 、煤 9 t.每 1 t甲种产品的第 1页共 4页利润是 600 元，每 1 t 乙种产品的利润是 1000 元 . 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过 360 t 、 B 种矿石不超过 200 t 、煤不超过 300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：产品消耗量甲产品（ 1 t）乙产品 (1 t)资源限额（ t）资源A种矿石（ t ）104300B 种矿石 (t)54200煤 (t)49360利润（元）6001000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、 y t ，利润总
6、额为z 元，10x4 y300,y5x4 y200,75那么 4x9 y360,10x+4y=300x0,50y0;403x+5y=04x+9y=360目标函数为： z=600x+1000y.030 4090x作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.5x+4y=200作直线 l:600 x+1000y=0,王新敞即直线l:3+5 =0,x y把直线 l向右上方平移至 l 1 的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时 z=600x+1000y 取最大值 .5x4y200,解方程组4 x9 y360,得 M的坐标为 x= 360 12.4, y= 1000 34.4.2929答
7、：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大2第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 .例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型A 规格B 规格C规格钢板类型第一种钢板211第二种钢板123今需要 A、 B、 C三种规格的成品分别为15、 18、 27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：第 2页共 4页2 xy15,x2 y18,x3y27,x 0, y 0
8、.y159B(3,9)AC(4,8)x+y=0x+3y=27作出以上不等式组所表示的平面区域, 即可行域：目标函数为z=x+y，作出在一组平行直线 x+y=t （ t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线0 7.518 27x王新敞2x+y=15x+2y=18+3 =37 和直线2+ =15 的交点Ax yx y（ 1839），直线方程为+= 57 王新敞5,x y55由于 18 和 39 都不是整数，而最优解（ x， y）中， x、 y 必须满足 x，y Z，所以，可55行域内点 (1839,) 不是最优解王新敞55经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）
9、且与原点距离最近的直线是x+y=12, 经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8)，它们是最优解王新敞答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板9 张；第二种截法是截第一种钢板4 张、第二种钢板8 张，两种方法都最少要截得两种钢板共12 张王新敞结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（ 1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（ 3）在可行域内
10、求目标函数的最优解王新敞三、课堂练习：课本 P64 练习 2：解：将已知数据列为下表：产品消耗量甲产品（ 1 杯）乙产品 (1 杯 )资源限额（ g）资源奶粉（ g）943600咖啡 (g)452000糖 (g)3103000利润（元）0.71.2设每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯 . 则，第 3页共 4页9x4 y36004x5 y20003x10y3000x 0 y 0作出可行域：目标函数为： z=0.7 x+1.2 y 王新敞作直线 l :0.7 x+1.2 y=0. 把直线C，且与原点距离最大，此时 z=0.7y900400300C(200,240)7x+12y=03x+10y
11、=30000400 500 1000x4x+5y=2000王新敞9x+4y=3600l 向右上方平移至 l 1 的位置时，直线经过可行域上的点 x+1.2 y 取最大值 王新敞4 x5 y2000,解方程组10y3000,3x得点 C的坐标为（ 200， 240）王新敞所以，每天应配制甲种饮料200 杯，乙种饮料240 杯，能使该咖啡馆获利最大王新敞四、小结：线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数图解法求得数学模型的解， 即画出可行域， 在可行域内求得使目标函数取得最值的解还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合
12、实际情况求得最优解五、课后作业 ：. 然后，用. 最后，王新敞1 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1 吨，需要煤9 吨，需电4 瓦，工作日3 个（一个 2 人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1 吨，需要用煤4 吨，需电 5 瓦，工作日 12 个，又知甲产品每吨售价7 万元，乙产品每吨售价12 万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200 瓦，全员劳动人数最多300 人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨，则约束条件为：9x4 y360y4 x5y200903x12 y3009x+4y=360x0, y0线性目标函数为z=7x+12y.可行域如图所示：由图可知当过点（165 , 135 ）时， z 最大 .28zmax=780（万元）40253x+12y=300040100 x7x+12y=04x+5y=200王新敞答：最大产值为780 万元王新敞六、板书设计（略） 王新敞七、课后记： 王新敞第 4页共 4页