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1、名校名 推荐专项限时集训 ( 六)数列中的证明、 探索性和存在性、 不定方程的解等综合问题( 学生用 第123 页 )( 限 ： 60 分 )1( 本小 分14 分 ) 已知数列 an 是各 均 正数的等比数列，a3 4， an 的前 3 和 7.(1) 求数列 an 的通 公式；(2) 若 a1b1 a2b2 anbn (2 n 3)2 n 3， 数列 bn 的前 n 和 Sn，求 ： 1 1S1 S2112 .nnS 解 (1) 数列 an 的公比 a1q2 4，a1 1，由已知得0，且qqq 2.a1 a1 q 4 7，数列 an 的通 公式 n 1.4 分an 2(2) 明：当 n 1
2、 ， a1b1 1，且 a11，解得 b11.6 分当 n2 ， anbn (2 n 3)2 n3 (2 n2 3)2 n1 3 (2 n1) 2n 1.an 2n 1，当2 ，n 2 1.8 分nbn b 121 1 足 b 2n 1，1n数列 bn 的通 公式 bn 2n 1( n N* ) 数列 bn 是首 1，公差 2 的等差数列 Sn n2.10 分11当n 1 ， 1 1 2 1.S当 2 ，111112 .nSnn n nn 1n11111111 2 12S112n1nSSn1 2n.14 分2( 本小 分14 分)(2017 城市 海 八 中学二模) 如果无 数列 an 足下列
3、条件：n n2 an 为 数列aa an1；存在 数 M，使 an M. 其中 n N* ，那么我 称数列2(1) 数列 bn 的通 bn 5n 2n，且是 数列，求 M的取 范 ；1 7(2) 设 cn 是各 正数的等比数列， Sn 是其前 n 和， c34，S34， 明：数列 Sn是 数列；1名校名 推荐(3) 设数列 dn 是各项均为正整数的 数列，求证： dndn 1.【导学号： 56394106】n 1nnn 1n，故数列n单调递减； 解 (1) b b 52 ，当 n3， b b 0 b 当 n1,2时， bn 1 bn 0，即 b1 b2b3，则数列 bn 中的最大项是3 7，所
4、以7.2 分bM(2) 证明： cn 是各项为正数的等比数列，n 是其前n项和，c31， 3 7，S4S4c3c37设其公比为 q0， q2 q c34.整理，得621 0，解得11qq， ( 舍去 ) q2q311 c1 1，cn 2n 1， Sn 22n 1 Sn 2， S2.*S S111对任意的 n N ，有nn2 2 2n 2n2 22n 1Sn 1，且 Sn 2，2故 S 是 数列 .8 分n(3) 证明：假设存在正整数k 使得 dk dk 1 成立，由数列 dn 的各项均为正整数，可得dk dk 1 1，即 dk 1dk 1.dk dk 2因为 dk 1，所以 dk 22dk 1
5、dk2( dk 1) dk dk 2.2由 dk 22dk 1 dk 及 dk dk 1 得 dk 2 2dk 1 dk 1 dk 1，故 dk 2 dk 1 1.dk 1 dk 3因为 dk 2，所以 dk 32dk 2 dk 12( dk 1 1) dk 1 dk 12 dk 3，2由此类推，可得dk m dk m( m N* ) 又存在 M，使 dkM， m M，使 dk m 0，这与数列 dn 的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意 n N* ，都有 dn dn 1 成立 .14 分nanan 1*3 ( 本小题满分 14 分 ) 设数列 a 满足21， n N .n 1*(1)
6、 证明： | an| 2(| a1| 2) ， nN ；(2) 若 | an| 3 n， nN* ，证明：2| an| 2， n N* .证明an 1 ，得n 1n 1 ， (1)由 a 2| an| an| an 1|1*，故nn 1 n， N222n2名校名 推荐| a1| an| a1| a2| a2| a3| an 1| an|1 11所以 21 2n 212222232n 12n 21 22 2n 1n，nm| an| an 1| an 1| an 2| am1| am|11| a | a |n n 1 m1 nmn 1n 2m n n 12222222222112m 12n 1，1
7、 | am|n故 | an|，均有 |a3mnn|2 ，3|an0| 2取正整数 m0log42n0且 m0n0，3303| an| 2则 2n0 4 m02n0 4 log 4 2n0 | an0| 2，与式矛盾 上， 于任意n N* ，均有 | an| 2.14 分4( 本小 分16 分)(2017 江 省无 市高考数学一模) 已知 n 正整数，数列 an 足222anan 0,4(n1) an nan 1 0， 数列 bn 足 bn t n.(1)an求 ：数列n 等比数列；(2)若数列 bn 是等差数列，求 数t 的 ；*，使得2(3) 若数列 b 是等差数列， 前 n 和 S ， 任
8、意的 n N，均存在 m N8a Snn1 n42a1 的 a1n 16bm 成立，求 足条件的所有整数 解 (1) 明：数列 n 足n 0,4(n22， 1) n n 10aaana 2 n 1an nan1，即an 1an 12 ，nnan 公比的等比数列.4 分数列n 是以 a 首 ，以 213名校名 推荐(2)由 (1)可得：ann122n1 a12， a na14 .nn2222ana1a2a3 b t n， b1 t ， b2 t 2 ，b3 t 3，n222a2a1a3数列 bn 是等差数列， 2 t 2 t t3，22243a221214at a1t 2，化为： 16t t2
9、48，解得 t 12或 4.8 分(3)数列 n 是等差数列，由(2) 可得：t 12或 4.b22a1na12n 12nn111243na 4nan， Sn， t 12 时， bnn21243*242对任意的 nN ，均存在 m N ，使得8a S a n 16b 成立，1n1m22a1na1nn221243421 8amam，11162a n432 n n224m124m a1 33n n 3m， n 1 时，化为：3a1 3m 0，无解，舍去22na1na12n 124114na 4na， t 4 时， b n ， S n4n24*，均存在*242对任意的 n NmN ，使得8a S a
10、 n 16b 成立，1n1m22a1na1n42 812414 2112 4 ，a16 ma，2a n4nammm1* a1 2n. a1为正整数，n 2k， kN .满足条件的所有整数a1的值为aa1 2mn*，且m 1，*，N ， N N .116 分5( 本小题满分16 分) 已知数列n1123nn1n 1* a 满足： a 4，a 4，2a a a( n2， nN ) ，数列 bn 满足： b10,3 bnbn 1 n( n2， n N* ) ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn.(1) 求证：数列 bn an 为等比数列；(2) 求证：数列 bn 为递增数列；(3) 若当且仅当 n
11、3 时， Sn 取得最小值，求 b1 的取值范围 .4名校名 推荐【导学号： 56394107】 解 (1) 证明： 2n n 1 n 1(2，n N* ) an 是等差数列a aan1 3又 a1 4， a2 4， a 11 2n 14( n1) 24，nn 1n1 n(2， N* ) ，b3b3nnn 1n 1 1nn 12n 11 n2n 11 bn 2n 1ba3b343b12341 3( bn an) 1111nn111又 b a b 40， b a 是以 b 4为首项，以3为公比的等比数列 .(2) 证明： bn an b111 n 12n 143， an.4 bnb111 n 1 2n1.434nn 11 2 b1 11 n 2当 n2时， b b 2 343.又 b10. b 是单调递增数列 .10 分n(3) 当且仅当 n 3 时， Sn 取最小值3 0，51124 b1 430，44315