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1、第八课时同角三角函数关系的应用教学目标：熟练运用同角三角函数化简三角函数式，活用同角三角函数关系证明三角恒等式，明确化简结果的要求， 掌握证明恒等的方法； 通过化简与证明， 使学生提高三角恒等变形的能力，树立化归的思想方法 .教学重点：三角函数式的化简，三角恒等式的证明.教学难点：同角三角函数关系的变用、活用.教学过程：441 cos sin （ sin2 cos2） cos4sin4法一：原式（ sin2 cos2） cos6sin62cos2sin 223cos2sin2（ cos2 sin2）3（1 cos2）（ 1 cos2） sin4法二：原式（ 1 cos2）（ 1 cos2 co
2、s4） sin6 sin2 （ 1cos2 sin2） sin2（ 1 cos2 cos4 sin4）2cos2 1 cos2（ cos2 sin2）（ cos2sin2）2cos2 2cos22 1 cos2 cos2 sin 2 3cos2 31（ cos4sin 4）法三：原式1（ cos6sin 6）1 （ cos2 sin2） 22 cos2sin2 1（ cos2 sin2）（ cos4 cos2sin2 sin4）1 1 2cos2sin 22cos2sin2 2 1 （ cos2 sin2） 23cos2sin23cos2sin2 3以上三种解法虽思路不同，但都应用了公式sin
3、2 +cos2 1,其中生 2、3 是顺用公式， 1是逆用公式，显然 1 的解法简单明了 . 在 1 的解法中逆用公式sin2 cos2 1，实质是 “ 1的”一种三角代换 “1 sin2 cos2” .对于利用同角三角函数关系式化简时，其结果一般要求：函数种类少； 式子项数少；项的次数低； 尽量使分母或根号内不含三角函数式；尽可能求出数值（不能查表） ）.cosx1 sinx例 2求证 1 sinx cosx证法一：由 cosx0知 1 sinx0，于是cosx（ 1 sinx）cosx（ 1 sinx）cosx（ 1 sinx）1 sinx左 （ 1 sinx）（ 1 sinx） 1 si
4、n 2xcos 2x cosx 右第 1页共4页证法二：由 1 sinx0， cosx0于是（ 1 sinx）（ 1 sinx）1 sin2xcos2xcosx右cosx（ 1 sinx）cosx（ 1 sinx）cosx（ 1 sinx）1 sinx左cosx1 sinxcos2 x（ 1 sinx）（ 1sinx）证法三：左右 cosxcosx（ 1 sinx）1 sinx cos2x（ 1 sin2x）cos2 xcos2xcosx（ 1 sinx） cosx（ 1 sinx） 0cosx1 sinx1 sinx cosx证法四： (分析法 ) 欲证 cosx1 sinx cosx1 s
5、inx只须证 cos2 x（ 1 sinx）（ 1sinx）只须证 cos2 x1 sin2 x只须证 sin2x cos2x 1上式成立是显然的， cosx1 sinx成立cosx1 sinx分析法证题的思路是 “执果索因 ”：从结论出发，逐步逆推，推出一个真命题或者推出的与已知一致，从而肯定原式成立 .要注意论证格式.课堂练习已知 sin cos1， (0，)，求 tan的值 .5分析：依据已知条件sin cos1， (0，)，求得 2sincos的值，进而求得 sin5cos的值，结合sin、 cos的值再求得tan即可 .解： sin cos1， (1)5将其平方得， 1 2sinco
6、s1 2sincos24，2525 (0， ) cos 0 sin497 (sincos)21 2sincos25 sincos5(2)由（ 1）（ 2）得434sin 5 ， cos 5， tan 3.课时小结本节课我们讨论了同角三角函数关系式的两个方面的应用：化简与证明，与同学们讨论了化简的一般要求，证明恒等的常用方法，对于化简与证明另外还应注意两种技巧：一种是切化弦 ”，一种是 “1”代换，的 “1”代换不要仅限于平方关系的代换，还要注意倒数关系的代的换，究竟用哪一种，要由具体问题来决定.课后作业课本 P24 习题10、 11、 12.第 2页共4页同角三角函数关系的应用1式子 sin4
7、 cos2 sin2cos2的结果是（）113A. 4B.2C.2D.12a2已知 tan a2 1(其中 0 a 1， 是三角形的一个内角)，则 cos的值是（）1 a22aa2 1a2 1A. a2 1B. a2 1C. a2 1D. a2 1a 34 2a3若 sina 5，cos a 5，2 ，则 a 的值满足（）A. a0B. a 3 或 a 5C.a 8D. a0 或 a 84化简 1 sin24的结果为（）A.cos4B. cos4C. cos4D.cos2245已知 sin 5 ，且 为第二象限角，那么tan16已知 sincos8，且 4 2 ，则 cos sin的值为137
8、若 tan 3 ,2，则 sin cos8若 0，2)，且1 cos2 1 sin2 sin cos，求 的取值范围 .sin2xsinx cosx9化简： sinx cosx tan2 x 1.222210求证： tan sin tan sin.第 3页共4页同角三角函数关系的应用答案1 D 2 C 3 C 4 B 54637332108若 0，2)，且1 cos2 1 sin2 sin cos，求 的取值范围 .分析：依据已知条件得cos0， sin0，利用同角三角函数之间的关系式求解.解： 1 cos2 1 sin2 sin2 cos2 |sin| |cos|sin cos sin0， cos0是第二象限角或终边在 x 轴负半轴和 y 轴正半轴上的角 022 sin2xsinx cosx9化简： sinx cosx tan2 x 1 .原式sin2x（ sinx cosx） cos2xsinx cosxsin2x cos2x sin2x（ sinxcosx）（ sinx cosx） cos2xsin 2x cos2xsinx cosx222210求证： tan sin tan sin.左边 tan2sin2 sin 2 sin2cos221 cos22sin 222 sin sin sin tan右边cos2cos2第 4页共4页