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1、用二分法求方程的近似解一课的教学设计江苏省太湖高级中学肖瑛求方程的解是常见的数学问题， 这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系， 从而得到诸如求根公式等方程的解。但有些方程求精确解较难， 本课试图从另一个角度来求方程的近似解。说求方程的近似解倒不如说是逼近解。本课重点是学习一种思维。1、 教学目 1.1知 目 ：理解二分法的概念，掌握运用二分法求 方程近似解的方法。1.2 能力目 ：体 并理解函数与方程的相互 化的数学思想方法； 学生能 初步了解近似逼近思想， 培养学生能 探究 的能力、 的科学 度和 新能力。1.3 情感、 度与价 正面解决 困 ，可以通 迂回的方法去解决。2、 教学重
2、点能 借用 算器，用二分法求相 方程的近似解。3、教学 点 二分法的理 支撑的理解。4、教学方法 例 入推出 践探究 提 学生感悟（ 、反思）5、教具多媒体 件6、教学 程一、 情景，引入新 ：大家先来看一段 像（放映CCTV2幸运 52 片段）支持人李咏 道：猜一猜 件商品的价格。 众甲：2000！李咏：高了！ 众甲： 1000！李咏：低了！ 众甲：1700！李咏：高了！ 众甲：1400！李咏：低了！ 众甲： 1500！李咏： 低了！ 众甲： 1550！李咏：低了！ 众甲：1580 ！李咏： 高了！ 众甲： 1570！李咏：低了！ 众甲： 1578！李咏：低了！ 众甲： 1579！李咏： 件
3、商品 你了。下一件 ：（手拿一款手机）如果 你来猜 件商品的价格，你如何猜？生 1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低 价。生 2： 太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100 元降低 价。如果低了，每50 元上 ；如果再高了，每隔20 元降低 价；如果低了，每隔 10 元上升 价生 3：先初步估算一个价格，如果高了，再 一个价格；如果低了，就 两个价格和的一半； 如果高了， 再把 的低价与一半价相加再求其半， 出第 1页共 5页价格；如果低了， 就把 出的价格与前面的价格 合起来取其和的半价 ：在 生活中我 也常常利用 种方法。譬如，一天，我 庄校区与 南校区的 路出了故障， （
4、相距大 3500 米） 工是怎 的呢？是按照生1 那 每隔 10 米或者按照生2 那 每隔 100 米来 是按照生3 那 来 呢？生：（ 答）按照生3 那 来 。 ：生 3 的回答，我 可以用一个 程来展示一下（展示多媒体 件，区 逼近法）。二、 解新 ：那我 能否采用 种逐步逼近的方法来解一些数学 呢？（多媒体）能否求解方程式lg x3x; x22x10; x33x10 ?生 4：方程 x 22x10 的解可用求根公式来解。 ：不解方程， 当然也不 用求根公式，如何求方程x22x10 的一个正的近似解？ （精确到 0.1 ）（探究离不开 ， 教学有 于教 情景的 ，以及 的呈 方式）1、 学
5、生先自行探求，并 行 交流。（倡 学生 极交流、勇于探索的学 方式，有助于 学生学 的主 性） 生共同探 交流，引出借助函数f(x)=x22x1 的 象，能 小根所在区 ，并根据 f(2)0, 可得出根所在区 (2,3) ；引 学生思考，如何 一步有效 小根所在的区 ；共同探 各种方法，引 学生探 出通 不断 分区 ，有助于 的解决；用 例演示根所在区 不断被 小的 程，加深学生 上述方法的理解；引 学生思考在有效 小根所在区 ，到什么 候才能达到所要求的精确度。2、 学生 述上述求方程近似解的 程。（通 自己的 言表达，有助于学生 概念的理解）（思考，解决。 激励， 言激励）（生推 ， 欣
6、，鼓励学生，生口答，得出）生 5： 设 f (x)x 22x1, 先画出函数图象的简图，因为 f (2)10, f (3)20,所以在区间 (2,3)内，方程 x22x 10有一解，记为 x1；f (2) 0, f (2.5)0x1( 2,2.5),f (2.25)0, f ( 2.5)0x1(2.25,2.5),f (2.375)0, f (2.5)0x1(2.375,2.5),f (2.375)0, f (2.4375)0x1 (2.375,2.4375),第 2页共 5页因为 2.375 与 2.4375 精确到 0.1 的近似值都为2.4 ，所以此方程的近似解为x12.43、 揭示二分
7、法的定义。指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。例题剖析（多媒体）例 1.根据表格中的数据，可以断定方程exx20的一个根所在的区间是（）x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A (-1,0)B (0,1)C (1,2)D (2,3)师：我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？生 6： f (m) f (n)0x(m, n),师：有了这个依据，本题应选什么？为什么？设f ( x) exx2,f (1) 0, f (2)即f (1) f ( 2)0生 7：0x(1,2), 故选 C师：现在，判断某根所在区间有哪些方法？生 8：画图或利用函数值的正负来判断。
8、例 2.利用计算器，求方程 lg x3 x的近似解。（精确到 0.1）( 本例鼓励学生自行尝试，即能否利用二分法来求解本例， 此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化。要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，感受数学学习的乐趣) （让学生思考片刻）师：估计方程的根在什么范围内？生：（无语）师：（启发，师微笑着说）判断某根所在区间的方法是- （部分学生跟着说出方法）那，现在我们可以画出哪些函数的图象？生 9：作： y=lgx ， y=3-x 的图象；师：你们发现了什么？生（齐答）：图象有一个交点；师：这意味着什么？生：在两个函数图象的交点处，函数值相等。因此，这个点的横坐标就是方程
9、lgx=3-x 的解。从图象上可以发现， 这个方程有惟一解， 且在区间 （2，3）内。师：判断出了根所在区间后接下去怎么办？生：利用函数；师：哪个函数？怎么算出近似解来？生 10： 设f (x) lg xx3, 用计算器，得 f( 2) 0, f (3)0x( 2,3),f (2.5) 0, f (3)0x ( 2.5,3), f (2.5)0, f ( 2.75)0x( 2.5,2.75)第 3页共 5页f (2.5) 0, f (2.625)0x (2.5,2.625),f (2.5625) 0, f (2.625)0x (2.5625,2.625),因为 2.5625 与 2.625 精
10、确到 0.1的近似值都为2.6 ，所以原方程的近似解为x 2.6师：在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上，引导学生归纳二分法求解方程f(x)=0 或 g(x)= h(x)近似解的基本步骤：画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b) ，验证 f(a)f(b)0；求区间 (a,b) 的中点 x1 ( x1ab) ；2计算 f(x 1) ：若 f(x 1)=0 ，则 x1就是函数 f(x) 的零点， x1 就是 f(x)=0的根，计算终止；若 f(a) f(x1)0，则选择区间（ a, x 1）；若 f(a) f(x1)0，则选择区间（ x1， b）；循环操作、，直到当区间的两端点精确到同一
11、个近似值时才终止计算。（通过归纳总结，能够完善学生的认知结构）（多媒体） 练习： 1） 求方程 x 33x10的一个正的近似解？（ 精确到 0.1）2） 求方程 2 xx 4的近似解？（精确到 0.1）3） 用二分法判断方程 2 xx 2的根的个数为 （）A. 1B. 2 C. 3D. 44)方程 lg( x4) 10 x的根的情况是 ( )A.仅有一根B.有一正根一负根C.有两负根D.无实根（全班共四组，第一、二组做练习1）、 3）；三、四组做练习2）、 4）。）（目的：让学生进一步巩固掌握二分法求近似解的操作步骤及其应用）思考： 从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点，现在某接点发生
12、故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？（此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识）三、课堂小结师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？（生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。3、 可以利用函数的图象来判断方程根的个数。四、布置作业必修 1 第 81 页习题 3、 4、 58、教学后记本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构， 符合学生的认知规律和心理特点， 重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构。第 4页共 5页第 5页共 5页