《不等式恒成立,求参数的取值范围——洛必达法则.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式恒成立,求参数的取值范围——洛必达法则.docx（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、.洛必达法则简介法则 1若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件：(1) limf x 0lim g x0；x a及 x a(2) 在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x) 可导且g(x) 0；(3)limfxl ，那么limf x =limf xl 。x a g xx a g xx a g x法则 2若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件：(1)lim fx0lim g x0；x及 x(2)A f0，f(x)和 g(x) 在, A 与 A,上可导，且g(x) 0；(3)limf xl ，那么 limf x =limf xl 。xg xxg xxg x法则 3若函数 f(x)和
2、g(x) 满足下列条件：(1)xaf x及 limxa g x；lim(2) 在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x) 可导且g(x) 0；(3) limf xl ，那么 limf x=limf xl 。x a g xx a g xx a g x利用洛必达法在解题中应注意：1将上面公式中的xa，x换成 x +，x - ，x a ， x a 洛必达法则也成立。2洛必达法则可处理0 ， ，0，0 ， 0，型。010;.3在着手求极限以前，首先要检查是否满足0 ，00 ，1 ， 0 ， 00 ，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适
3、用，应从另外途径求极限。4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。洛必达法则应用：1.(2010 年全国新课标理 ) 设函数 f (x) ex 1 x ax2 。（ 1） 若 a 0 ，求 f ( x) 的单调区间；（ 2） 若当 x 0 时 f ( x) 0 ，求 a 的取值范围原解：（ 1） a 0 时， f ( x) ex 1 x ， f ( x) ex 1.当 x(,0) 时， f (x)0 ；当 x(0,) 时， f (x)0 . 故 f ( x) 在(,0) 单调减少，在(0,) 单调增加（ II ） f ( x) ex 1 2ax由（ I ）知 ex1x ，当且
4、仅当 x0 时等号成立 . 故f ( x)x2ax(12a)x ，从而当 12a0 ，即 a21 时， f( x)0 ( x 0) ，而 f (0)0 ，于是当 x0 时， f (x)0.由 ex1x(x 0)可得 e x1 x(x0) . 从而当 a1 时，2f ( x)ex1 2a(e x 1)e x (ex1)(ex2a) ，故当 x(0,ln 2a) 时， f(x)0 ，而 f (0)0 ，于是当 x(0,ln 2a);.时， f ( x) 0 .综合得 a 的取值范围为1,2原解在处理第（ II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解 : （II）当 x 0 时， f ( x)0，对任意实数a, 均在f ( x) 0 ；xx 1当 x 0时， f ( x) 0等价于 ae2xxxx令 gxex 1(x0),则g ( x)xe2e x2， 令23xxxxxxxh x xe 2e x 2 x 0 ，则 h xxe e 1， h xxe 0 ，知 h x在 0,上为增函数， hxh00 ；知 hx在 0,上为增函数， h xh 0 0 ； gx0 ，g(x) 在 0,上为增函数。xx 1xx由洛必达法则知， lim elim elim e1，2x 0xx 02xx 022故 a 1 2综上，知 a 的取值范围为,1。2;.