第九章简谐振动.ppt

《第九章简谐振动.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九章简谐振动.ppt（146页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第九章 振 动 和 波,.,第九章 振动和波,广义的振动物理量随时间作周期性变化称为振动。,（2）周期性在 T时间内状态能完全重复。,振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。,特点：（1）有平衡点，且具有重复性。,Vibration and wave,机械振动物体在某一位置附近作往复运动。, 机械振动分类,按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。,其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。,.,.,称作谐振动的微分方程。,弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator,在水

2、平方向上：,由牛顿第二定律，有：,令：,则有：,9-1 简谐振动,一、简谐振动的微分方程和运动方程,（负号表示力与位移方向相反）,幻灯片 5,1、简谐振动的微分方程,.,.,2、运动学方程：,由：,可解得：,或：,一般写成：,本课程采用余弦形式,因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动,振动曲线,.,.,3、简谐振动的加速度与速度,由,质点振动的速度,质点振动的加速度,质点振动的速度和加速度也是谐振动,若位移x，满足,简谐振动的判椐：,或,或,则称x作简谐振动（较为广泛，不仅适用于机械振动）,.,(2)角频率：angular frequency 振动的快慢,周期T: Period,频率：,(3)初

3、相位：,Phase 描述运动状态的量,为初相位，Initial Phase,(1)振幅A: amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）,4、谐振动的三个特征量,.,5、位移、速度和加速度的相位关系,以上结果表明：,(1)v,a与x的相同,(2),(3)a与x方向相反，且成正比,振幅,x、v、a相位依次差/2。,写成,.,二、初始条件确定振幅和初相位,初始条件：,写为：,得：,即：,有两个值，需（1） 或（2）进行筛选。,也可直接由（1）或由（2）求出。,.,三、坐标原点的选取对于振动方程的影响,(以竖直弹簧振子为例),在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。,.,例

4、题1 单摆 Simple Pendulum,解：单摆受力如图所示,对悬挂点的力矩：,由：,若很小，则有：,即：,其中：,动画,.,.,证明:设圆环偏离角度为,因此所作振动为谐振,.,四 、谐振动的其它表示法,1、振动曲线法,（1）振动曲线的峰（或谷）对应的位移的大小即是振幅 .,（2）振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔就是周期T 。,（3）由初状态v0、x0可得出初相位。,（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。,.,Rotating vector method,1.参考圆法,沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取在x轴）的投影的运动为简谐振动。,半径R振幅A 角速度

5、角频率,t时刻A矢量在x轴上的投影,初始矢径与x轴的交角初相位,动画,2.旋转矢量,用旋转矢量法处理问题更直观、 更方便，必须掌握。,表示出三个特征量,2、旋转矢量表示法,.,.,.,例题3一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s，当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正向运动。,求：(1)此振动的表达式 (2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间,解:(1)取平衡位置为坐标原点,设,其中,A亦为已知，只需求,由t=0s时，x0=0.06m，可得：,在-到之间取值：,.,取哪一个值要看初始条件，由于：

6、,所以：,由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v00,因此，应取：,于是，此简谐振动的表达式：,利用旋转矢量法求解很直观，根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从而得到：,.,(2),将 t=T/4=0.5s 代入上两式，以及位移表达式，可求得：,此时旋转矢量位置如图：,.,(3)通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：,由此可得：,第一次通过，取k=1，又由于=/s，所以：,从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：,故：,有旋转矢量图可知：,.,例题4 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。,解：设该简谐振动的运动方程为,根据

7、已知条件求出各量代入上式即可,由图可知，A=2cm，当t=0时,因为：v00,.,画出矢量图：,又知 t=1s 时，位移达到正的最大值， 即：,故：,因而有：,., 简谐振动的势能：,五 、简谐振动的能量,以水平的弹簧振子为例, 简谐振动的动能：,.,简谐振动的总能量：,弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。,.,势能的时间平均值:,动能的时间平均值:,.,这些结论同样适用于任何简谐振动。,总能的时间平均值:,* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。,* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比,* 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等

8、于总机械能的一半。,结论：,.,3.用余弦函数描述一些振子的振动，若速度-时间函数关系如图，则振动的初相位为/6；/3；/2；5/6,4.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由 所决定。对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由 决定。,振动系统本身的性质,初始条件,.,1.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量E变为 A: E/4; B: E/2; C: 2E; D: 4E,本章作业：9-3， 9-5， 9-10， 9-11,.,代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位,9-2 简谐振动的合成,一、 同方向

9、、同频率的简谐振动的合成,合振幅,Composition of two SHM,仍然是同频率 的简谐振动,.,由,分别两边平方求和后整理得：,.,几何方法：,.,上面得到：,讨论一：,合振幅最大。,当,两分振动同步时 合振动的振幅等于两分振动振幅之和,.,讨论二：,当 时，,讨论三：,一般情况：,两分振动反相位时 合振动的振幅等于两分振动振幅之差,.,例1。两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一简谐振动的相位差为-1=/6,若第一个简谐振动的振幅为,则第二个谐振动的振幅为 cm,第一、二两个谐振动的相位差2-1= 。,解：由矢量合成法则：,.,二、同方向、不同频率的简谐振

10、动的合成,为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：,Same direction Different Frequency,合成振动 表达式：,利用三角函数关系式：,.,当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分， 合成振动是以 为角频率的谐振动。,其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动，这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。,一般情况下，合振动无明显的周期性,.,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,显然，拍频是振动 的频率的两倍。 即拍频为：,应用：可用于校准钢琴,.,.,用旋转矢量说明拍频

11、,每追赶一次重合一次，振幅达到最大一次。拍频为：,音叉演示,.,三、方向垂直、同频率简谐振动的合成,设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即,.,上式是个椭圆方程，说明质点的运动轨迹是椭圆，具体形状由相位差 决定。,讨论1,所以是在 直线上的运动。,.,讨论2,所以是在 直线上的振动。,讨论3,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。,.,质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。,讨论5,讨论4,所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。,讨论6,则为任一椭圆方程。,综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后

12、，合振动在椭圆上进行（圆和直线是退化了的椭圆）。,.,.,.,四、垂直方向、不同频率简谐振动的合成,一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论,1。 视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。,当 时是顺时针转； 时是逆时针转。,2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形,称为李萨如图形。,在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。,.,.

13、,9-3 阻尼振动和受迫振动 共振,一、阻尼振动 振幅随时间减少的振动。,1。阻尼的分类,a.摩擦阻尼：机械能转化为热能,b.辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）,2。阻尼振动的方程,振动系统受介质的粘滞阻力：,Damped oscillations Forced oscillations Resonance,阻尼振动的动力学方程：,令：,称 为振动系统的固有角频率， 称 为阻尼系数。,.,（1）阻尼较小时:,此方程的解：,这种情况称为欠阻尼，,阻力使周期增大。,由初始条件决定A和初相位 ,设,即有：,.,a.周期T：一个位移极大到另一个极大出现的时间间隔。称准周期运动。,b.T比无

14、阻尼时稍长。,（2）阻尼较大时， 方程的解：,其中 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。,无振动发生。,.,称之为临界阻尼情况。它是振动系统 刚刚不能作准周期振动，而很快回到 平衡位置的情况，应用在天平调衡中。,是由初始条件 决定的积分常数。,（3）如果 方程的解：,是从有周期性因子 到无周期性的临界点。,.,.,1。谐振子的受迫振动：用周期性力驱动的振动。,二、 谐振子的受迫振动,设强迫力,阻尼力：,是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。 由微分方程理论：,非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。,2。振动的特点： 减幅振动和简谐振动的叠加，t 很大时

15、，作=策的简谐振动。,.,其解为：,经过足够长的时间，称为定态解：,该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；,稳定态时的振幅,受迫振动的初相位：,.,讨论：,较小,若 很小， 很大。,求振幅 对频率的极值，得出,共振的角频率。,共振的振幅。,振幅有极大值,三、 共振,1。位移共振：A达到最大值的振动状态（受迫振动）,.,当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（resonance)。,发生位移共振时,因振幅最大, 所以振动系统能量最大,系统 形变最厉害.,2。速度共振,达到极大值,叫做速度共振.,此时系统动能也达到最大值, 也叫能量共振.,.,(2)

16、速度振幅随阻尼的减小而增大,但共振频率皆为,3.共振的危害及应用.,利：乐器利用之可提高音效、 选择节目、器官成像（核磁共振）,害：桥梁、建筑物等易受破坏。,作业：9-6 9-8 9-12 9-13,.,弹 性 波,声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，光波是一种电磁波。,机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面以机械波为 例介绍波的一些物理概念。,但它们都有类似的波动方程。,Elastic Wave,.,2.弹性波产生的条件:(1)要有振源(波源) (2)要有传播振动的弹性媒质,3.横波和纵波

17、 (Transversal Wave and Longitudinal Wave),(1)横波:传播方向与振动方向垂直(绳上波) (2)纵波:传播方向与振动方向平行(空气中声波),任一波例如，水面波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。,由弹性力组合 的连续介质,一.基本概念 1.弹性波:机械振动在弹性媒质中的传播,Elastic Wave Generation and Propagation,9-4 弹性波的产生与传播,.,.,.,(1)波面:t时刻相位相同的点组成的面(波阵面),(2)波前:某时刻在最前面的波面,(3)波射线:沿波的传播方向作的射线（也称波线）,在各向同性均匀介质中，波

18、线与波阵面垂直.,4.波的几何描述波面、波线、波前 Wave Surface， Line（normal），Front,.,.,二.平面简谐波 Plane Harmonic Wave,1.简谐波:(简谐振动在空间的传播) 特点: (1)波传到的区域中，每个质元在平衡位置附近作简谐振动,而振动以一定的速度由近及远传播. (2)后振动的质点比先振动的质点的状态落后一段时间.,2.描述简谐波的物理量,(1)波速u:,单位时间内某一振动状态(或振动相位)所传播 的距离称为波速 ，也称之相速 。 取决于媒质(与频率无关),.,B.固体中,横波:,纵波:,其中:,G切变弹性模量 Y杨氏弹性模量,A.液体、气

19、体中(仅有纵波),B液体或气体的容变弹性模量 媒质的密度,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。,(2)波长（Wave Length):波传播过程中,同一波线上两个相邻的、相位差为2的两质元间的距离。,反映了波的空间周期性。,.,(4)频率单位时间内质点振动的次数,或单位时间内波动前进 的距离中所包含的完整波长的数目。,(5)关系式,(3)波的周期T：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过 波线上某一点所需要的时间叫做波的周期T。 与振源的振动周期相同.反映了波的时间周期性.,2.若媒质无吸收，各点的振幅相同，设为A。,波线上各点的振动可以代表媒质中各质点的振动。,结论：波线上各点的振

20、动表达式即为平面简谐波的波函数。,平面简谐波的特点：,1、波线上一点的振动状态与过该点的波面上各点的振动状态相同。,.,已知：1、原点o的振动表达式,求任意点p在t的振动表达式。,任意点p的振动表达式为：,任意点p振动的状态是原点o在 时间前振动过的状态。,9-5 平面简谐波的波函数,一、波函数：能够定量表达空间中任意点振动的数学表达式称为波函数,二、平面简谐波的波函数,.,(3)波函数的几种不同的形式：,.,三、波函数的物理意义:,(1)当x给定时,设x=x0,则有:,其中:,表示x0处质点的振动情况(振动方程),(2)当t给定,设t=t0,则有:,即y=y(x),表示t=t0时刻的波形图,

21、注意:波动曲线与振动曲线的区别,表示波线上各点的位移分布。,.,(3).当x,t均变化,y=y(x,t)表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位移。,波函数描述了波形(相位)的传播,速度为u. 在t时间内,整个波形以速度u向前推进了x=ut，u也称为相速度。,.,.,(4).由波函数可求得各质元的振动速度、位移、加速度,由此可知，波函数描述波动状态,注意：v 和 u 的不同,.,左行波的波函数：,所以 p点的运动方程，也就是左行波的波动方程：,p点的振动状态传到 O 点需用时间：,（5）沿x轴负向传播的情况:,已知:,p点的相位超前于O点相位：,.,例题13082,如图,一平面波在介质中以速度u

22、=20m/s沿x轴负方向传播,已知A点振动方程为:y=3cos4t (SI) 求： (1)以A点为坐标原点写出波动方程(波函数) (2)以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波动方程.,解:(1)若以A为原点,则有:,x处t时刻的振动,与A处t+x/u时刻的振动相同,因而x处的振动为:,.,X处质元的振动为：,要点:抓住沿波的传播方向上各点相位依次落后的特点。,(2)以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波动方程.,B点的振动方程为：,.,例题2一平面余弦波,波线上各质元的振幅和角频率分别为A和,波沿x轴正向传播,波速为u,设某一瞬时的波形如图所示,并取图示瞬时为计时起点,(1)分别以O和P为坐标

23、原点,写出该波的波函数. (2)确定在t=0时刻,距点O分别为x=/8和x=3/8两处质元振动速度的大小和方向.,其中:,为已知,现求,由图知,t=0时,.,故:,于是可得:,波函数为:,若取P点为坐标原点,点P作简谐振动的运动方程为:,由波形图可知,t=0时刻:,因此,则有:,（后来的位移向负方向增大）,因而有:,.,(2)求质元的振动速度:,X处:,沿y轴负向,沿y轴正向,步骤:,1.建立坐标系,选取计时起点 2.求原点的振动方程 3.由右行波或左行的规律,求x点的振动方程.,.,例题3 已知A点振动方程为:,求下列情况下的波函数.,.,作业：9-14 9-15 9-17 9-19,.,一

24、、波函数的几种不同的形式（右行波）：,复 习,左行波在 x 出现的地方加一负号,步骤:,1.建立坐标系, 选取计时起点 2.根据传播方向以及波的传播规律,求p点的振动方程（p点在x处）。,建立波函数的条件： 1、某点的振动表达式 2、波速（大小和方向u）,.,补充内容： 惠更斯原理,一、 惠更斯原理,表述：媒质中任一波阵面上的各点，都是发射子波的新波源 ，其后 任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。,Huygens principle,波传播时遇到障碍物或进入另一种媒质时，如何传播？,可用于解释波的传播、反射、折射、衍射等现象。,.,荷兰物理学家，1678年提出惠更斯原理,.,.,.,一.

25、波的叠加原理（独立性原理）, 9-6 波的叠加原理 波的干涉,若有几列波同时在介质中传播，则: 1.它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播； 2.在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。称波的叠加原理。,能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。,爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。,波叠加,.,.,.,二.波的干涉(波相遇时的一种特殊现象),1.干涉现象: 两波相遇,在媒质中某些位置的点振幅始终最大，某些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强 弱介乎二者之间,保持不变。称这种振动的稳定分布为干

26、涉现象。,2.相干条件：,满足相干条件的波源 称为相干波源。,（3）具有恒定的相位差,（2）振动方向相同,两相干波的振幅相近或相等时干涉现象明显。,（1）两波源具有相同的频率,.,波的干涉之 模拟演示图,.,.,3.定量公式: 设有两个频率相同的波源 和,其振动表达式为：,传播到 P 点引起的振动为：,在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。,.,下面讨论干涉现象中的强度分布,在 P 点的合成振动为：,其中：,由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：,对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,.,干涉相长的条件：,干涉相消的条件：,当两相干波

27、源为同相波源时，相干条件写为：,称 为波程差,相长干涉,相消干涉,.,例题一( 例1)如图所示,在同一媒质中相距为20m的两平面简谐波源S1和S2作同方向,同频率(=100Hz)的谐振动,振幅均为A,且A=0.05m,点S1为波峰时,点S2恰为波谷,波速u=200m/s,求两波源连线上因干涉而静止的各点位置.,解:选S1处为坐标原点O,向右为x轴正方向,设点S1的振动初相位为零,由已知条件可得波源S1和S2作简谐振动的运动方程分别为:,S1发出的向右传播的波的波函数为:,S2发出的向左传播的波的波函数为:,.,因干涉而静止的点的条件为:,化简上式,得:,将=u/=2m代入,可得:,所以在两波源

28、的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:,.,驻波是干涉的特例。当频率与绳长调整适当，绳上分段振 动，某些点振幅特大，某些点不动，称为驻波。驻波的特 点不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。,1.驻波:分别沿X轴正、负方向传播的同振幅、同频率的两列相干波，其合成波就是典型的驻波。,三.驻波,2.特征: (1)无波形的跑动(与行波不同) (2)振幅 A=A(x) (3)有些点不动(波节),有些点振动最强(波腹) (4)两相邻的分段相位相反,同一分段相位相同,动画,.,.,设有两列相干波，分别沿X轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：,3.驻波的形成:,其合成波称为驻波表达式：,实物

29、演示,.,利用三角函数关系求出驻波的表达式：,振动因子,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。,振幅因子,此式为振动表达式。无波形的跑动现象（即非行波）,.,振幅最大的点称为波腹，对应于,的各点；,因此：,波腹的位置为：,波节的位置为：,讨论: (1)驻波的振幅,驻波的特点不是振动的传播，而 是媒质中各质点都作稳定的振动,振幅为零的点称为波节，对应于,的各点。,即:,即:,.,从上式得相邻波腹间的距离为：,可得相邻波节间的距离也为,相邻波腹与波节间的距离为,因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,应用,(2)驻波的相位,时间部分提供的相位对

30、于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,.,内，,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向 最大或同时达到反向最小。速度方向相反。,结论：,* 两个相邻波节之间的点其振动相位相同。 同时达到 最大或同时达到最小。速度方向相同。,.,.,例题2一列沿x轴方向传播的入射波的波函数为,在x=0处反射,反射点为一节点 求:(1)反射波的波函数. (2)合成波的波函数 (3)波腹,波节的位置坐标.,解:(1)由于有相位突变,故反射波的波函数为:,(2)根据波的叠加原理,合成波的波函数为:,.,(3)形成波腹的各点,振幅最大,即:,亦即:,故波腹坐标为:,形成波节各点,振幅最小,即:,(x,

31、 x 只取负值及零),.,当波从波疏媒质垂直入射到 波密媒质界面上反射时，有 半波损失，形成的驻波在界 面处是波节。反之，当波从 波密媒质垂直入射到波疏媒 质界面上反射时，无半波损 失，界面处出现波腹。,四.半波损失：,入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失。,折射率较大的媒质称为波密媒质； 折射率较小的媒质称为波疏媒质.,有半波损失,某一时刻,无半波损失,.,.,.,3.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量E变为 A: E/4; B: E/2; C: 2E; D: 4E,2。已知：A,T,求：从B到C所需的最短时间,.,6.

32、 A、B两弹簧的倔强系数分别为kA, kB,其质量均可忽略不计，今将二弹簧连接起来并竖直悬挂，当系统静止时，弹簧的弹性势能EpA与EpB之比,.,7. 在t=0时，周期为T振幅为A的单摆分别处于图a、b、c三种状态，若选单摆的平衡位置为x轴的原点，x轴指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦表示）分别为,.,8. 一简谐波沿x轴正向传播，=4m,T=4s,x=0处振动曲线如图：,（1）写出x=0处质点振动方程； （2）写出波的表达式； （3）画出t=1s时的波形。,解：,（1）t=0时：,（2）,.,9. 两余弦波沿OX轴传播，波动方程为：,试确定OX轴上的合振幅为0.06m的那些点的

33、位置。,解：,.,作业：9-20 9-21 9-22,.,一、波函数的几种不同的形式（右行波）：,复 习,左行波在 x 出现的地方加一负号,步骤:,1.建立坐标系, 选取计时起点 2.根据传播方向以及波的传播规律,求p点的振动方程（p点在x处）。,建立波函数的条件： 1、某点的振动表达式 2、波速（大小和方向u）,.,9-7 波的能量 声波,波的传播过程:,（1）振动状态的传播(相位) （2）能量的传播,1.行波的能量,以弦上横波为例,其波函数为:,取AB段为研究对象为弦的质量线密度,(1)AB段的动能:,一、波的能量,.,(2)AB段的势能:,弹性势能应为张力T在线元伸长的过程中所作的功,即

34、:,代入上式,得:,x很小,.,利用了,(3)总机械能:,(4)能量密度: 单位体积中的能量。,(5)平均能量密度(对t求平均),为质量密度,.,(6)特点:,A.,相位、大小均相同(注意与振动能量相区别),极大,能量极小,能量极小,波形,.,D.能量以速度 u 传播(由 w 的公式可看出),2.波的能流密度与波的强度,(1)能流（Energy Flow） 单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。,为截面所在位置的能量密度 所以，能流为：,显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值,设波速为 u，在 时间内通过垂直于波速截面 的能量:,.,(2)平均能流:在一个周期

35、内能流的平均值称为平均能流,(3)能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。,换句话说，能流密度是 单位时间内通过垂直于 波速方向的单位截面的 平均能量。,平均能流,.,借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：,在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波，在行进方向上振幅不变。,讨论: 平面波和球面波的振幅,证明：因为,所以,平面波振幅相等：,.,球面波,由于振动的相位随距离 的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简 谐波的波函数：,.,(4) 波的吸收,实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收的能量转换为媒质的内能和热

36、。因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。,为吸收系数,取决于媒质和波的频率。,.,二、 声波, 声波是机械纵波,频率高于20000赫兹的叫做超声波。,* 声的产生、传播和接收。为听觉服务，如 声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面 的应用，噪声的避免等。声波测井。,20到20000赫兹之间能引起听 觉的称为可闻声波，简称声波。,频率低于20赫兹的叫做次声波；,* 利用声的传播特性研究媒质的微观结构； 利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务。,研究的分类：,声的概念不再局限于听觉范围， 几乎是振动和机械波的同义词。,.,设在弹性媒质中有一平面余弦纵波， 为密度, 为声速,媒

37、质中有声波传播时的压力(压强)与 无声波传播时的静压力之差称为声压。, 声压,由体弹性模量的定义：,应变为：,稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。 由于疏密的周期性，声压也是周期变化。,.,所以声压 为：, 声强、声强级,* 声强就是声波的平均能流密度。,即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。,.,式中加速度的振幅：,由此可知，声强与频率的平方，振幅的平方成正比。,这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度 g大十多万倍的正负加速度和几百个大气压，可见它的威力。因此，有重要的应用。,声强,超声波的频率高 ，而波长在毫米数量级。 压强振幅约 大气压。,加速度 已达重力加速度的上百万倍；

38、,.,引起人的听觉的声波，还有一定的声强 范围。大约为1012瓦/米2 1瓦/米2。 声强太小听不见，太大会引起痛觉。,定义声强级L为：,单位为贝耳(Bel),1Bel=10dB,单位为分贝(dB),* 声强级,由于可闻声强的数量级相差悬殊， 通常用声强级来描述声强的强弱。,声音的响度是人对声音的主观感觉。,规定声强 I0=10-12瓦/米2作为测定声强的标准,有的地方规定户外声音 不得大于100分贝。,如炮声声强 1瓦/米2 ，声强级120分贝。,., 超声波、次声波,* 超声波：频率高，波长短，定向传播性好； 穿透性好，在液体、固体中传播时，衰 减很小，能量高等。,定位、测距、探伤、显象，

39、随着激光全息的发展声全息也日益发展，它在地质、医学等领域有重要的意义；,近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。,由于能量大而集中可用来切削、焊接，钻孔，清洗机件还可用来处理种子和催化。,特点,用途,超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成分、温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接测量其他有关物理量。这种非声量的声测法具有测量精密度高、速度快的优点；,.,频率在10420赫芝之间 的机械波，人耳听不到。,* 次声波,因为大气湍流、火山爆发、地震、陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自然活动中，都有次声波产生，因此，它是研究地球、海洋、大气等大规模运动的有力的工具。,特点一,用途,由于它

40、具有衰减极小的特点， 具有远距离传播的突出特点。 已形成现代声学的一个新的 分支次声学。,特点二,.,表示波源相对于媒质的运动速度。,表示观察者相对于媒质的运动速度。,波源的频率 是单位时间内波源振动的次数或 发出的完整波的个数；,一.多普勒效应:(C. J.Doppler)观察者接受到的频率赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。,9-8 多普勒效应 Doppler Effect,约定,二. 三种不同情况下频率的变化,选媒质为参考系,观察者接受到的频率 是观察者在单位时间内接受到 振动数或完整的波数；,波的频率 是媒质质元在单位时间内振动的次数或单位时间内 通过媒质中某点完整波的个数。,

41、波速 ：单位时间内相位传播的速度。,.,若观察者以速度 离开波源运动， 同理可得观察者接受到的频率：,频率降低。,频率升高,因为此时波源的频率就是波的频率,1.相对于媒质，波源不动，观察者以速度 向着波源运动。,.,因为波源所发出的相邻 的两个同相振动状态是 在不同地点发出的，这 两个地点相隔的距离为,2.相对于媒质观察者不动，波源以速度 向着观察者运动,式中 为波源的周期。,如果波源是向着观察者 运动的，这后一地点到 前方最近的同相点之间 的距离是现在媒质中的波长,.,若波源静止时媒质中 的波长为,波源运动，在媒 质中的波长：,此时波的频率为：,由于观察者静止， 所以他接受到的 频率就是波的

42、频率：,频率升高,波长被压缩,.,当波源以速度 远离观察者运动时， 可得观察者接受到的频率：,频率降低,3.相对于媒质波源和观察者同时运动,综上所述，当波源和观察者相互靠近时，观察者接受到的频率为：,当波源和观察者彼此离开时， 观察者接受到的频率为：,综合起来：,观察者靠近波源运动分子中为正，离开为负。波源靠近观察者运动分母中为负，离开为正。,.,当波源的速度超过 波的速度时，波源 前方不可能有任何 波动产生。需注意防范。,利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速，振动体的振动和潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多勒效应对心脏跳动情况进行诊断，如做超声心动、多普勒血流仪

43、，等。,马赫锥,.,.,例题1一时速为80km/h的列车向车站驶来,(1)列车上汽笛频率为1000Hz,站立在站台上的旅客听到的汽笛的频率是多少?(2)若同样频率的汽笛在车站上鸣叫,列车内旅客听到的汽笛的频率为多少?(声速340m/s),解:(1),因而车站上旅客接收到的笛声的频率为:,(2),列车内的旅客接收到的频率为:,.,例2 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度. 一固定波源发出 频率为100kHz的超声波. 当汽车迎着波源驶来时. 与波源 安装在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超声波的 频率为110KHz。 已知空气中声速为 330 m /s。 求：汽车行驶的速率.,解:,波 源：固定波源；静止,观察者：汽车；向着波源运动。速度为V 。,第一步:,汽车接收到的频率为：,.,由此解得汽车行驶的速度为：,观察者：接受器；静止。,第二步:,波 源：汽车；向着观察者运动。 汽车发出的波的频率即是它接收到的频率,.,10. 某质点作简谐振动，T=2s, A=0.06m, t=0时，处于负向最大位移处，求： (1)振动方程 (2)u=2m/s沿x轴正向，求y=? (3)波长,解：,（1）t=0时：,（2）,（3）,作业：9-23,