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1、.,第六节空间角,.,.,1异面直线所成的角 (1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的 叫做a与b所成的角 (2)范围：两异面直线所成角的取值范围是 .,锐角(或直角),.,2直线与平面所成的角 (1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的 所成的角当直线和平面平行时，直线和平面所成的角为当直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为 (2)范围：直线和平面所成角的取值范围是 .,射影,0的角,90的角,.,斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影其中的关键是作出射影线段(它是由垂线段
2、的垂足和斜足连结而成的),.,3二面角 (1)二面角的定义 二面角：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ，如图所示，棱为l，两个面分别为、的二面角记作，由A，B，二面角也记作 . 二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线，则AOB叫做二面角l的平面角，如图所示,半平面,棱,面,l,AlB,OAl,OBl,.,(2)二面角的取值范围：,0，,.,求直线和平面所成角的方法 (1)定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性 (2)三垂线法：
3、已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角 (3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直,.,(4)射影法：利用面积射影公式S射S原cos ，其中S原为原斜面面积，S射为射影面积，为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来,.,4(B)利用空间向量求空间角 (1)向量法求异面直线所成的角 若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos |cosa，b| .,.,(2)向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角
4、为，则sin |cosn，a| . (3)向量法求二面角 求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2， 若二面角l所成的角为锐角，则 cos |cosn1，n2| ；,.,若二面角l所成的角为钝角，则 cos |cosn1，n2| .,.,1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1和B1D1所成的角为() A30 B45 C60 D90 【答案】C,.,2已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为() A30 B60 C90 D120 【解析】由题易知m，n所成的角为两平面所成的角，故选B. 【答案】B,.,3(2008年福建卷)如图，在长方体A
5、BCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为(),.,【答案】D,.,4平面平面CD，P为这两个平面外一点，PA于A，PB于B，若PA2，PB1，AB，则二面角CD的大小为_,【答案】60,.,5如图所示，已知AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO，O为垂足，BC为内的一条直线，ABC60，OBC45，则斜线AB和平面所成的角为_,.,【答案】45,.,.,正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB BB1，求异面直线AB1与C1B所成角的大小 【思路点拨】可用平移法，构造三角形求解；也可建系用向量法求解,.,【解析】解法1：如图，连结B1C交C1B于
6、O，取AC中点D，连结DO，BD，则DOAB1，BOD即为所求角或其补角,.,DO2BO2BD2， DOBO，即AB1C1B. AB1与C1B所成角的大小等于90. 解法2：如图，分别延长正三棱柱ABCA1B1C1三条侧棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1AAA2，B1BBB2，C1CCC2，连结A2B2，B2C2，A2C2，则将原来的正三棱柱补成一个新的三棱柱，连结A2B， A2C1，在矩形A1A2B2B1中，A2BAB1， A2BC1或其补角即为所求,.,.,.,.,【解析】解法1：(1)证明四边形ABCD是正方形， ACBD. PD底面ABCD， PDAC. AC平面PDB
7、. 又AC面AEC 平面AEC平面PDB. (2)设ACBDO，连结OE. 由(1)知AC平面PDB于O.,.,AEO为AE与平面PDB所成的角 O，E分别为DB，PB的中点，,.,解法2(B)：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz. 设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)， C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h),.,.,.,(1)解决直线与平面所成角的问题，关键是找到斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角来度量 (2)要作出直线和平面所成的角关键是作垂线，找射影，可以用三垂线定理，也可以用向量法来完成 (3)求直线和平面所成角的步骤：
8、作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形(垂线，斜线，射影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小,.,.,1(2009年浙江卷)如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点 (1)证明：PQ平面ACD； (2)求AD与平面ABE所成角的正弦值,.,【解析】证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQEB. 又DCEB，因此PQDC，从而PQ平面ACD. (2)如图，连结CQ，DP. 因为Q为AB的中点，且ACBC，所以CQAB. 因为DC平面ABC， EBDC，所以EB平面ABC. 因此CQEB，故CQ平面ABE
9、.,.,.,如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SAAB，点M是SD的中点 (1)求证：SB平面ACM； (2)求二面角DACM的大小,.,【思路点拨】几何法：(1)连结BD交AC于E，连结ME，只需证MESB；(2)利用三垂线法作出二面角的平面角；(3)可证SCAM. 向量法：以A为原点，分别以直线AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴建系可求出(2),.,【解析】(1)证明：连结BD交AC于E，连结ME. ABCD是正方形，E是BD的中点 M是SD的中点， ME是DSB的中位线MESB. 又ME平面ACM，SB平面ACM，SB平面ACM. (2)解法1：取A
10、D的中点F，则MFSA.作FQAC于Q，连结MQ. SA底面ABCD，MF底面ABCD. FQ为MQ在平面ABCD内的射影,.,FQAC，MQAC. FQM为二面角DACM的平面角 设SAABa，,.,解法2(B)：如图所示，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz， 由SAAB，故设ABADAS1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)， C(1,1,0)，D(1,0,0)，,.,.,确定二面角的平面角的方法常用的有以下几种：(1)定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角 (2)三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个半平面上一点A(不在
11、棱上)向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足B(垂足在棱上则二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上的点C，连结AC则ACB(或其补角)即为二面角的平面角,.,(3)作棱的垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 (4)面积射影定理法：利用面积射影公式：cos (适于锐二面角),.,2如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC中点 (1)证明：SO平面ABC； (2)求二面角ASCB的余弦值,.,从而OA2SO2SA2. 所以SOA为直角三角形，SOAO. 又AOBCO，所以SO平面ABC.,.,(2)解法
12、1：取SC中点M，连结AM、OM， 由(1)知SOOC，SAAC，则OMSC，AMSC. OMA为二面角ASCB的平面角 由AOBC，AOSO，SOBCO，得 AO平面SBC.所以AOOM.,.,解法2：(B)以O为坐标原点，射线OB、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设B(1,0,0)，则C(1,0,0)， A(0,1,0)，S(0,0,1),.,.,.,本节内容，侧重于两条异面直线所成的角、线面角、二面角的计算而考查的形式是以解答题形式出现,.,1(2009年湖南卷)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA1 ，点D是BC的中点，点
13、E在AC上，且DEA1E. (1)证明：平面A1DE平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值,.,【解析】(1)证明：如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1. 而DEA1E，AA1A1EA1， 所以DE平面ACC1A1. 又DE平面A1DE，故平面A1 DE平面ACC1A1. (2)解法1：过点A作AF垂直A1E于点F，连结DF.由(1)知，平面A1DE平面ACC1A1，所以AF平面A1DE.故ADF即为直线AD和平面A1DE所成的角,.,.,解法2(B)：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系
14、，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0)，,.,.,2(2009年天津卷)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFE AD. (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明：平面AMD平面CDE； (3)求二面角ACDE的余弦值,.,【解析】解法1：(1)由题设知，BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点，连结EP，PC.因为FE綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC、AD都在平面ABCD内，故EPPC， EPAD.由ABAD，可得PC
15、AD.设FAa，则EPPC PDa，CDDEEC ， 故CED60.,.,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60. (2)证明：因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连结MP，则MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE. (3)设Q为CD的中点，连结PQ，EQ.因为CEDE， 所以EQCD.因为PCPD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角,.,解法2(B)：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得B(1,0,0，)C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M .,.,.,.,