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1、.关于正项级数敛散性的判别法作者:学号：单位：指导老师 摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy）判别法、达朗贝尔（DAlembert）判别法、高斯（Gause）判别法、莱布尼兹（Leibniz）判别法、阿贝尔（Abel）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数的n项部分和为： .若n项部分和数列为收敛，即存在一个实数S，使.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy）
2、收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy）收敛准则1:数项级数收敛，有.当p=1时，可得推论：若级数收敛，则.其逆否命题为：若，则级数发散.2 正项级数敛散性判别法精品.设数项级数为正项级数，则级数的n项部分和数列单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数收敛它部分和数列有上界. 证明：由于所以是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证.由定理2.1可推得定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数和，且有，c是正常数，则1） 若级数收敛，则级数也收敛;2） 若级数发散，则级数也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数的有限项，则不改变级数的敛
3、散性.因此，不妨设有，c是正常.设级数与的n项部分和分部是，有上述不等式有， .1)若级数收敛，根据定理1，数列有上届，从而数列也有上届，再根据定理1，级数收敛;精品.2)若级数发散，根据定理1，数列无上届，从而数列也无上届，在根据定理1，级数发散.其极限形式：定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：设和（）是两个正项级数且有，1）若级数收敛，且，则级数也收敛；2）若级数发散，且，则级数也发散. 证明:1）若级数收敛，且，由已知条件，,有，即，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，级数收敛；2)若级数发散，且，由已知条件，根据柯西收敛准则推论的逆否命题知，则级数也发散.若级数发散，且，有已知条件，即
4、根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数也发散.精品.例1 判别级数的敛散性. 分析: 考虑通项，分子的最高幂是0（只有常数1 ),分母的最高幂是2,这时通项接近,原级数也接近于级数,这是的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是,至多差一个系数.解: 因为（分母缩小,分数放大）,又由于收敛.则由此比较判别法,原级数也收敛.例2 判别级数的敛散性.分析: 考虑通项,分子n的最高幂是1,分母n的最高幂是2,这时通项接近，,原级数也接近于级数,至多差一个系数.解: 因为（分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于是发散的,则由比
5、较判别法,原级数也是发散的.由比较判别法可推得：定理2.3（比值判别法达朗贝尔判别法）：设()为正项级数，且存在正常数q,则有1) 若则级数收敛；精品.2) 若，有，则级数发散.证明：1）不妨设, n=1， ; n=2, n=3, . n=k, .已知几何级数收敛，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数收敛.2)已知即正项级数从N项以后单调增加，不去近乎0，则级数发散.定理2.3.1（比值判别法的极限形式）：设()为正项级数，且，有，1) 若，则级数收敛；2) 若，则级数发散. 证明：1)由数列极限定义，精品.即，根据达朗贝尔判别法，级数收敛；2）已知，根据数列极限的保号性，达朗贝尔判别法，级
6、数发散.例3 判别级数的敛散性.解: 由于,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数收敛.例4 判别级数的敛散性.解: 由于,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数发散.当正项级数的一般项具有积、商、幂的形式,且中含有、以及形如的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.定理2.4（根式判别法柯西判别法）：设为正项级数，存在常数q，则有1) 若有，则级数收敛；精品.2) 若存在自然数列的子列，使得，则级数发散.证明：1）已知有，有已知几何级数收敛，于是级数收敛;2)已知存在无限个n,有，即趋近于0（），于是级数发散.定理2.4.1(根式判别法的极限形式)：设为正项级数，若1) 若时，级数收敛；2) 若时，则级数
7、发散. 证明：1),由数列极限定义，根据柯西判别法，级数收敛；2)已知，根据数列极限的保号性，根据柯西判别法，级数发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对的形式都为论及.实际上，当或时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数和，都有，精品.，但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件和也不能放宽到，.例如对调和级数，有，但级数却是发散的.例1 判别级数的敛散性.分析: 该级数的通项是一个n次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于,根据柯西判别法的推论,可得级数收敛.例2 判别级数的敛散性.解: 由于,所以根据柯
8、西判别法的推论知,级数发散.我们知道，广义调和级数（P-级数）当时收敛，而当时发散，因此，取P-级数作为比较的标准，可得到比比式判别法更为精细而又应用方便的判别法.即定理2.5（拉阿贝判别法）：精品.设是正项级数且有，则存在常数q，1) 若，则级数收敛；2） 若，则级数发散. 证明：1）由可得，选p使1pN,这样，于是，当nN时就有,当p1时，级数收敛，故级数则级数收敛；2） 由于是，因为发散，故级数发散.定理2.5.1（拉阿贝判别法的极限形式）：精品. 设正项级数,且极限存在,若1)当时,级数收敛;2) 当时,级数发散.例1 讨论级数当时的敛散性.分析: 无论哪一值,对级数的比式极限,都有.
9、所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当时,由于,所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当时,由于,所以原级数是发散的.当时,所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得定理2.6（积分判别法）：设函数在区间上非负且递减，n=1,2，则级数收敛的充分必要条件是极限存在.精品.证明： ，知=单调递增.存在在有界.（充分性）设存在，则存在,使得级数的部分和即部分和数列有上界.所以级数收敛.（必要性）设正项级数收敛，则它的部分和有上界，即存在有从而对令则.故极限存在.由此我们得到两个重要结论：(1) p级数收敛；(2) 级数收敛.证明：1)在p级数一般项中，把n换
10、位x，得到函数.我们知道，这个函数的广义积分收敛，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2）证法同（1）.例1 判别级数的敛散性.精品.分析:因为将换成连续变量,即是，显然函数在是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数换成积分形式,由于,即收敛,根据积分判别法可知,级数也收敛.例2 证明调和级数发散.把换成连续变量得函数,显然这是一个在单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数换成积分形式,由于,即发散,根据积分判别法可知,调和级数发散.3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7（阶的估计法）：设为正项级数，即与当是同阶无穷小，则1) 当时，级数收敛；2) 当
11、是，级数发散.把比较判别法和比式判别法结合，又可得精品.定理2.8（比值比较判别法）：设级数和是正项级数且存在自然数N，使当时有，则1) 若收敛，则也收敛；2) 若发散，则也发散.证明：当时，由已知得由此可得.再由比较判别法即知定理结论成立.主要参考文献：1刘玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义（第三版）.高等教育出版社，20032罗仕乐，数学分析绪论.韶关学院数学系选修课程，2003.83李成章、黄玉民，数学分析（上册）.科学出版社，1999.54邓东皋、尹晓玲，数学分析简明教程.高等教育出版社，2000.65张筑生，数学分析新讲.北京大学出版社，2002.66丁晓庆，工科数学分析（下册）.科学出版社，2002.97R.柯朗、F.约翰，微积分与数学分析引论.科学出版社，2002.5 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品