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1、二次函数性质一览表表达式图像开口对称轴顶点a 值方向增减性(a 0)坐标当 x 0 时，y 随 xa 0向上y 轴的增大而增大（ 0，0）当 x 0 时，y 随 x y=ax2的增大而减小当 x 0 时，y 随 xa 0向下y 轴的增大而减小（ 0，0）当 x 0 时，y 随 x的增大而增大当 x 0 时，y 随 xa 0向上y 轴的增大而增大（ 0，k）当 x 0 时，y 随 x y=ax2 +k的增大而减小当 x 0 时，y 随 xa 0向下y 轴的增大而减小（ 0，k）当 x 0 时，y 随 x的增大而增大最值当 x=0 时，y有最小值，即 y 最小值 =0当 x=0 时，y有最大值，即
2、 y 最大值 =0当 x=0 时，y有最小值，即 y 最小值 =k当 x=0 时，y有最大值，即 y 最大值 =k举例y= 34 x 2y=3x2y=-5x 2y=13 x2y=4x2 +52y=3x -1y=-2x 2+3 y=-3x 2 -2a 0y=a(x-h)2a 0a 0y=a(x-h)2+ka 0a 0y=ax2+bx+c可化为：y=a(x+ 2ba )直线向上x=h直线向下x=h直线向上x=h直线向下x=h直线向上x=- 2ab当 x h 时，y 随 x的增大而增大（ h，0）当 x 0 时，y 随 x的增大而减小当 x h 时，y 随 x的增大而减小（ h，0）当 x 0 时，
3、y 随 x的增大而增大当 x h 时，y 随 x的增大而增大（ h，k）当 x h 时，y 随 x的增大而减小当 x h 时，y 随 x（ h，k）的增大而减小当 x h 时，y 随 x的增大而增大b（ - 2 a当 x -b2a 时， y，随 x 的增大而增大4 acb2当 x -b 时， y4a2a）随 x 的增大而减小当 x=h 时，y有最小值，即 y 最小值 =0当 x=h 时，y有最大值，即 y 最大值 =0当 x=h 时，y有最小值，即 y 最小值 =k当 x=h 时，y有最大值，即 y 最大值 =k当 x=- 2ab时， y 有最小值，即y最小值= 4 ac b24ay=2(x-
4、3) 2 y= 12 (x+2) 22y=-3(x-2) y=-2(x+1) 2y=5(x-2) 2+1 y=2(x-1) 2-3 y=3(x+1) 2+2 y=4(x+2) 2-4y=-2(x-1) 2 +3 y=-3(x-2) 2 +1 y=-4(x+1) 2 +3 y=-5(x+2) 2 +4y=2x2 +3x+4y=3x 2-3x+4y=4x2 -3x-4y=5x2 +3x-42+ 4ac b 24aa 0（ -b当 x -b时， y2 a直线2a，随 x 的增大而减小向下当 x -2ab时， yx=- 2ab4 ac b24a随 x 的增大而增大）当 x=- 2ab时， y 有最大值
5、，即y 最大值= 4 ac b24ay=-2x 2+3x+4 y=-3x 2-3x+4 y=-4x 2-3x-4 y=-5x 2+3x-4二次函数的有关知识一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a 0) ：1、一般式： y=ax2 +bx+c已知抛物线任意三点 (x 1,y 1),(x 2, y2),(x 3 ,y 3) 可设一般式求得 2、顶点式： y=a(x-h) 2 +k已知顶点坐标（ h， k）和任意一点 (x,y) 可设顶点式求得 3、两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)已知抛物线与 x 轴是的两个交点（ x 1， 0），（x2， 0）和任意一点 (x,y) 可设两根式求得
6、 二、二次函数图象平移变换关系：三、二次函数图象（抛物线）与x 轴交点情况的判断：yax2 +bx+c （ a0， a、 b、 c 都是常数）四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1、二次函数 y ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c=0 的解。因此利用二次函数图象可求以x 为未知数的一元二次方程ax2+bx+c 0 的解（从图象上进行判断） 。2、二次函数 y ax2+bx+c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2 +bx+c0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式 ax2+bx+c 0 的
7、解。五、关于 x 轴、 y 轴对称的二次函数图象的关系：二次函数 y ax2 +bx+c 与 y ax2+bx+c 关于 x 轴对称，即关于 x 轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数和常数项相同。六、二次函数 yax2+bx+c, 当 a、 b 同号时，对称轴直线 x b 在 x 轴的负半轴，即y 轴的左则；当 a、b 异号时，对称轴直线x2a b在 x 轴的正半轴，即 y 轴的右则；当 c0 时，图象交于 y 轴的正半轴；当c 0 时图象一定过原点；当 c 0 时，图象交于 y 轴2a的负半轴。七、任意一个二次函数2+bx+c(a 0，不考虑 b 和 c 的取值 ) 都可以化为 y=a(x+b 2+4acb 2b4acb 2y ax2a )4 a的形式 , 即顶点坐标为 ( 2a， 4 a),当 x=- b 时， y 有最值，即 y 最值 = 4 ac b2 , 对称轴是直线 x=-b .2a4a2 a