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1、第 13 章检测试题( 时间 :45 分钟满分 :100 分)【测控导航表】知识点题号全等三角形的判定5,7,8,12,14,15,18等腰三角形性质及判定3,4,10,19,20线段的垂直平分线、角平分线2,11,13,16,17命题及尺规作图1,6,9,17一、选择题 ( 每小题 4 分, 共 32 分)1. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( D )(A) 垂直(B) 两条直线(C) 同一条直线(D) 两条直线垂直于同一条直线解析 : 条件为两条直线垂直于同一条直线, 结论为这两条直线互相平行 . 故选 D.2.如图 , ABC中,DE 垂直平分 AC交 AB于 E,
2、A=30, ACB=80,则 BCE的度数为 (B)(A)40 (B)50 (C)60 (D)55 解析 : 因为 DE垂直平分 AC,A=30,第1页共16页所以 AE=CE,ACE=A=30,因为 ACB=80,所以 BCE=80-30 =50.故选 B.3. 已知等腰三角形两边长分别为 2 和 3, 则此等腰三角形的周长为(D)(A)7(B)8(C)6 或 8 (D)7 或 8解析 : 等腰三角形周长为2+2+3=7,等腰三角形周长为3+3+2=8,故选 D.4. 如图 , 把一张长方形纸片 ABCD沿对角线 BD折叠 ,BC 交 AD于 O.给出下列结论 : BC平分 ABD; ABO
3、 CDO; AOC=120; BOD是等腰三角形 . 其中正确的结论有 (B)(A) (B)(C)(D)解析 : 因为把一张长方形纸片 ABCD沿对角线 BD折叠 , 所以 C= A=90,AB=CD;因为 AOB=COD,所以 ABO CDO;所以 OB=OD,所以 BOD是等腰三角形 , 其他无法证明 . 故选 B.5. 如图 ,AC,BD 交于点 E,AE=CE,添加以下四个条件中的一个 , 其中不能使 ABE CDE的条件是 ( D )第2页共16页(A)BE=DE(B)AB CD(C) A=C(D)AB=CD解析 : 选项 A, 可利用 S.A.S. 证明 ABE CDE,故此选项不
4、合题意 ; 选项 B, 由 ABCD可得 A=C,可利用 A.S.A. 证明 ABE CDE,故此选项不合题意 ;选项 C,可利用 A.S.A. 证明 ABE CDE,故此选项不合题意 ; 选项 D,不能证明 ABE CDE,故此选项符合题意 . 故选 D.6. 如图 , 在 ABC中, C=90, B=30, 以 A为圆心 , 任意长为半径画弧分别交 AB,AC于点 M和 N,再分别以 M,N为圆心 , 大于12 MN的长为半径画弧 , 两弧交于点 P, 连结 AP并延长交 BC于点 D,则下列说法中正确的个数是 ( C )AD平分 BAC;作图依据是 S.A.S.; ADC=60;点 D在
5、 AB的垂直平分线上 ;(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个解析 : 根据作图的过程可知 ,AD 是 CAB的角平分线 , 故正确 ;作图依据是 S.S.S., 故错误 ;第3页共16页如图 , 因为在 ABC中, C=90 , B=30,所以 CAB=60.又因为 AD是 BAC的平分线 ,所以 1=2=12CAB=30,所以 3=90- 2=60,即 ADC=60, 故正确 ;因为 1=B=30,所以 AD=BD,所以点 D在 AB的垂直平分线上 . 故正确 ;故选 C.7.如图 , 在四边形 ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连结 AC,BD相交于点 O,则图中全等三角形
6、共有(C)(A)1 对(B)2 对(C)3 对(D)4 对解析 : 在 ABC和 ADC中?= ?, ?= ?,?= ?,所以 ABC ADC(S.S.S.).所以 BAC=DAC,BCA=DCA,在 ABO和 ADO中,第4页共16页?= ?, ?= ?,?= ?,所以 ABO ADO(S.A.S.).在 BOC和 DOC中?= ?,?= ?,?= ?,所以 BOC DOC(S.A.S.).所以共有 3 对全等三角形 . 故选 C.8. 如图 ,AD 是 ABC的角平分线 ,DE,DF 分别是 ABD和 ACD的高 , 得到下列四个结论 : OA=OD;ADEF;当 BAC=90时 ,AE=
7、DE=DF=AF; AE+DF=AF+DE.其中正确的是 (D)(A) (B)(C) (D) 解析 : 因为 AD是 ABC的角平分线 ,所以 EAD=FAD,易得 AED AFD(A.A.S.),可得 AE=AF,DE=DF,所以 AE+DF=AF+DE,第5页共16页所以正确 ;易得 AEO AFO(S.A.S.), 得 EO=FO,又因为 AE=AF,所以 AO是 EF 的中垂线 ,所以 ADEF,所以正确 ;因为当 BAC=90时 ,所以 EAD=FAD=45,所以 AE=DE,AF=DF,所以 AE=DE=DF=AF,所以正确 .因为由已知得不出OA=OD,所以错误 .综上 , 可得
8、正确的是 .故选 D.二、填空题 ( 每小题 4 分, 共 24 分)9. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等” 的逆命题是 如果一个三角形两边上的中线相等 , 那么这个三角形是等腰三角形.10. 如图 , 在 ABC中, C=20,CA=CB,则 ABC的外角 ABD= 100 .解析 : 因为 C=20,CA=CB,第6页共16页所以180-20 A=ABC=80,2所以 ABD=A+C=80+20=100.11. 如图 , 在 ABC中, C=90,AB=10,AD 是 ABC的一条角平分线 ,若 CD=3,则 ABD的面积为 15 .解析 :如图 , 过点 D作 DEAB于点 E,因为
9、AD是 BAC的平分线 ,所以 DE=CD,因为 CD=3,所以 DE=3.11所以 S = ABDE=103=15. ABD2212. 如图 , 在 ABC和 DEF中, 点 B,F,C,E 在同一直线上 ,BF=CE, ACDF,请添加一个条件 , 使 ABC DEF,这个添加的条件可以是AC=DF .( 只需写一个 , 不添加辅助线 )解析 :AC=DF,理由是 : 因为 BF=CE,所以 BF+FC=CE+FC,所以 BC=EF,因为 ACDF,所以 ACB=DFE,第7页共16页?= ?,在 ABC和 DEF中, ?= ?,?= ?,所以 ABC DEF.13. 下列说法 : 若直线
10、 PE是线段 AB的垂直平分线 , 则 EA=EB,PA=PB;若 PA=PB,EA=EB,则直线 PE垂直平分线段 AB;若 PA=PB,则点 P 必是线段 AB的垂直平分线上的点 ; 若 EA=EB,则过点 E 的直线垂直平分线段 AB.其中正确的个数有 3 个.解析 : 其中正确的有 .14. 如图 ,ADBC,垂足为 D,BAD=45,BF AC,垂足为 F,BC=8 cm,DC=3 cm,则 AE= 2 cm.解析 :因为 BAD=45,ADBC,所以 AD=BD.因为 BFAC,所以 C+FBC=90,因为 ADBC,所以 C+DAC=90,所以 DAC=FBC,在 BDE和 AD
11、C中,?= ?, ?= ?,?= ?,所以 BDE ADC(A.S.A.),所以 CD=DE=3 cm,第8页共16页因为 BC=8 cm,DC=3 cm,所以 BD=AD=5 cm,所以 AE=5-3=2(cm).三、解答题 ( 共 44 分)15. (6 分) 如图 , 在 ABC中, 点 D是 BC上的一点 , 且 B=ADB,AC=AE, BAD=CAE.求证 :BC=DE.证明 : 因为 BAD=CAE,所以 BAD+DAC=CAE+DAC,即 BAC=DAE,因为 B=ADB,所以 AB=AD.在 ABC和 ADE中,?= ?,因为 ?= ?,?= ?,所以 ABC ADE(S.A
12、.S.),所以 BC=DE.16. (6分) 已知 , 如图所示 ,AB=AC,BD=CD,DEAB于点 E,DFAC于点F, 求证 :DE=DF.第9页共16页解 : 如图 , 连结 AD,因为 AB=AC,BD=CD,AD=AD,所以 ABD ACD(S.S.S.),所以 BAD=CAD,所以 AD是 EAF的角平分线 ,又因为 DEAE,DFAF,所以 DE=DF.17. (8 分) 如图 , 已知锐角三角形 ABC.(1) 在 ABC内部作一点 P, 使 PB=PC,且点 P到 AB,BC的距离相等 .( 不写作法 , 保留作图痕迹 )(2) 若 A=60, ACP=24, 求 ABP
13、.解:(1) 如图所示 : 作 BC的垂直平分线 l, 作 B 的平分线 BM,交直线 l 于点 P, 则点 P 即为所求 .(2) 连结 PC,设 ABP=x,第 10页共 16页则 CBP=PCB=x,因为 A=60, ACP=24,所以 A+ACP+3x=180,所以1ABP=(180-60-24)=32.318.(8 分) 如图 1, 在 ABC中,AB=AC,点 D是 BC的中点 , 点 E 在 AD上.(1) 求证 :BE=CE;(2) 如图 2, 若 BE的延长线交 AC于点 F, 且 BFAC,垂足为 F, BAC=45, 原题设其他条件不变 . 求证 : AEF BCF.证明
14、 :(1) 因为 AB=AC,D是 BC的中点 ,所以 BAE=CAE,在 ABE和 ACE中,?= ?,?= ?,?= ?,所以 ABE ACE,所以 BE=CE.(2) 因为 BAC=45,BF AF,所以 ABF为等腰直角三角形 ,所以 AF=BF,因为 AB=AC,点 D是 BC的中点 ,所以 ADBC,所以 EAF+C=90,第 11页共 16页因为 BFAC,所以 CBF+C=90,所以 EAF=CBF,在 AEF和 BCF中,?= ?,?= ?,?= ?= 90,所以 AEF BCF.19. (8 分) 如图所示 , 锐角 ABC的两条高 BD,CE相交于点 O,且 OB=OC.
15、(1) 求证 : ABC是等腰三角形 ;(2) 判断点 O是否在 BAC的角平分线上 , 并说明理由 .(1) 证明 : 因为 OB=OC,所以 OBC=OCB.因为 BD,CE是 ABC的两条高 ,所以 BDC=CEB=90.又因为 BC=CB,所以 BDC CEB.所以 DCB=EBC,所以 AB=AC.所以 ABC是等腰三角形 .(2) 解: 点 O在 BAC的角平分线上 , 连结 AO.第 12页共 16页因为 BDC CEB,所以 EC=DB.因为 OB=OC,所以 OD=OE.又因为 BD,CE是 ABC的高 ,AO=AO,所以 ADO AEO(H.L.).所以 DAO=EAO.所
16、以点 O在 BAC的角平分线上 .20. (8 分) 如图 , ABC为等边三角形 ,P 为 BC上一点 , APQ为等边三角形 .(1) 求证 :ABCQ.(2) 是否存在点 P, 使得 AQCQ?若存在 , 指出点 P 的位置 ; 若不存在 ,说明理由 .(1) 证明 : 因为 AB=AC,BAP=QAC,AP=AQ,所以 ABP ACQ,所以 B=ACQ=60,所以 ACQ=BAC,所以 ABCQ.第 13页共 16页(2) 解: 存在 , 当点 P 为 BC的中点时 ,AQCQ.理由如下 :因为点 P 为 BC的中点 ,所以 CAP=30.又 APQ为等边三角形 ,所以 CAQ=30.
17、由 (1) 知 ACQ=60,所以 AQC=90,即 AQCQ.附加题 ( 共 20 分)21. (10 分) 如图 , ABC=90,D,E 分别在 BC,AC上,ADDE,且 AD=DE.点 F 是 AE的中点 ,FD 与 AB相交于点 M.(1) 求证 : FMC=FCM;(2)AD 与 MC垂直吗 ?并说明理由 .(1) 证明 : 因为 ADE是等腰直角三角形 ,F 是 AE的中点 ,所以 DFAE,DF=AF=EF,又 ABC=90, DCF, AMF都与 MAC互余 ,所以 DCF=AMF,又 DFC=AFM=90,第 14页共 16页所以 DFC AFM,所以 CF=MF,所以
18、FMC=FCM.(2) 解:AD 与 MC垂直 , 理由如下 :由 (1) 知 MFC=90,FD=FE,FM=FC,所以 FDE=FMC=45,所以 DECM,因为 ADDE,所以 ADMC.22. (10 分) 如图 , 在 ABC中,AB=2AC,AD平分 BAC且 AD=BD求.证 : CDAC.证明 : 取 AB的中点 E, 连结 DE.在 DAE和 DBE中,?= ?, ?= ?,?= ?,所以 DAE DBE,所以 AED=BED=90,因为 AB=2AC=2AE,所以 AC=AE.因为 AD平分 BAC,第 15页共 16页所以 BAD=CAD.?= ?,在 ADE和 ADC中, ?= ?,?= ?,所以 ADE ADC,所以 ACD=AED=90,所以 CDAC.第 16页共 16页