角形中位线训练试题解答题.docx

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1、角形中位线训练试题解答题-作者 : _-日期 : _三角形中位线训练试题一解答题（共30 小题）1（ 2013?常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC ，Rt CEF ， ABC= CEF=90 ，连接 AF ， M 是 AF 的中点，连接MB 、 ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB CF ；（ 2）如图 1，若 CB=a ，CE=2a，求 BM ， ME 的长；（ 3）如图 2，当 BCE=45 时，求证： BM=ME 2（ 2010?顺义区）在 ABC 中， AC=BC ， ACB=90 ，点 D 为 AC 的中点（1）如图 1， E 为线段 DC 上

2、任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF ，连接 CF，过点 F 作 FH FC，交直线 AB 于点 H判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明；（2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（ 1）中的其他条件不变，你在（ 1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明3（ 2008?黄石）如图， ABM 为直角，点 C 为线段 BA 的中点，点 D 是射线 BM 上的一个动点（不与点 B 重合），连接 AD ，作 BE AD ，垂足为 E，连接 CE，过点 E 作EF CE，交 BD 于 F（1）求证： BF=FD ；（2） A 在什么范围内

3、变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由；（ 3） A 在什么范围内变化时，线段 DE 上存在点 G，满足条件 DG= DA ，并说明理由第 2页（共 40页）4（ 2008?延庆县二模）（1）如图所示，BD ， CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A作 AF BD ， AG CE，垂足分别为 F，G，连接 FG，延长 AF ，AG ，与直线 BC 分别交于点 M 、 N，那么线段 FG 与 ABC 的周长之间存在的数量关系是什么？即： FG=（AB+BC+AC ）（直接写出结果即可）（2）如图，若BD ， CE 分别是 ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段FG 与 ABC三边之间又

4、有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明（ 3）如图，若 BD 为 ABC 的内角平分线， CE 为 ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段 FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明答：线段 FG 与 ABC 三边之间数量关系是5（ 2013 春?西城区期末）如图，在 ABC 中， AC AB ， D 点在 AC 上， AB=CD ， E、 F 分别是 BC 、 AD 的中点，连结 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若 EFC=60 ，联结GD，判断 AGD 的形状并证明6如图所示，已知AB=CD ， AN=ND ， BM=CM ，求证： 1=

5、2第 3页（共 40页）7已知：如图， ABC 中， A B ，CR 是 ACB 的平分线且交 AB 于 R， AQ CR，垂足为 Q， P 为 AB 的中点，求证： PQ= （ BC AC ）8如图所示在四边形ABCD 中， CD AB ， AB 与 CD 不平行， E， F 分别是 AC ， BD 的中点求证：9如图，在 ABC 中， D 为 BC 的中点，点E、 F 分别在边AC、 AB 上，并且 ABE= ACF ， BE、 CF 交于点 O过点 O 作 OP AC ， OQ AB ， P、 Q 为垂足求证： DP=DQ 10如图，在凸四边形 ABCD 中， M 为边 AB 的中点，且

6、 MC=MD ，分别过 C， D 两点，作边 BC， AD 的垂线，设两条垂线的交点为 P求证： PAD= PBC第 4页（共 40页）11如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B 的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P 点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE 的面积最小？为什么？12已知 ABC 中， DE BC 交 AB 于 D，交 AC 于 E， AM 为 BC 边上的中线，与 DE 相交于 N ，求证： DN=NE 13操作 1：如图 1，一三角形纸片ABC ，分别取AB 、 AC 的中点 D、 E，连接 DE ，沿DE 将纸片剪开，并将其中的

7、ADE 纸片绕点E 旋转 180后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD 操作 2：如图 2，一平行四边形纸片ABCD ，E、 F、 G、H 分别是 AB 、 BC、CD 、 AD 边的中点，沿 EF 剪开并将其中的 BFE 纸片绕点E 旋转 180到 AF 1E 位置；沿 HG 剪开并将其中的 DGH 纸片绕点 H 旋转 180到 AG 1H 位置；沿 FG 剪开并将 CFG 纸片放置于AF 1G1 的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G则四边形FF1G1G 的形状是操作、思考并探究：（1）如图 3，如果四边形ABCD 是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的

8、纸片，E、F、 G、 H 分别是 AB 、 BC、CD 、 AD 的中点依次沿 EF 、 FG、GH 、 HE 剪开得到四边形纸片 EFGH 请判断四边形纸片 EFGH 的形状，并说明理由（ 2）你能将上述四边形纸片 ABCD 经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图 4 上画出对应的示意图第 5页（共 40页）（3）如图 5， E、 F、 G、 H 分别是四边形ABCD 各边的中点，若 AEH 、 BEF 、CFG 、 DGH 的面积分别为S1、 S2、S3、 S4 ，且 S1=2 ，S3=5，则四边形ABCD 是面积是（不要求说明理由）14（ 2014 春?张家港市

9、校级期末）如图，点 D、 E 是 Rt ABC 两直角边 AB 、 AC 上的一点，连接 BE ，已知点 F、 G、H 分别是 DE 、 BE、 BC 的中点（ 1）求 FGH 度数；（ 2）连 CD，取 CD 中点 M ，连接 GM ，若 BD=8 ， CE=6 ，求 GM 的长15（ 2014 春?团风县校级期中）如图所示 ABC 中， B， C 的平分线BE， CF 相交于 O，AG BE 于 G， AH CF 于 H（1）求证： GH BC ；（2）若 AB=9 厘米， AC=14 厘米， BC=18 厘米，求 GH16（ 2012 春?萍乡校级期中）已知：如图，AB=AC ，AD B

10、C 于 D， DF AE 求证：CE=2DF 17（ 2011 秋 ?江都市期末）如图（1）， BD 、CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A 作AF BD ， AG CE，垂足分别为F、 G，连接 FG，延长 AF 、 AG ，与直线BC 相交于 M 、N（1）试说明： FG=（ AB+BC+AC ）；第 6页（共 40页）（2） 如图（ 2）， BD 、 CE 分别是 ABC 的内角平分线； 如图（ 3）， BD 为 ABC 的内角平分线， CE 为 ABC 的外角平分线则在图（ 2）、图（ 3）两种情况下，线段 FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种

11、情况说明理由18（ 2010 秋?茶陵县校级期末）如图，已知在?ABCD 中， EF BC，分别交AB 、 CD 于E、 F 两点， DE 、 AF 交于 M ， CE、BF 交于 N 求证： MN=AB 19（ 2010 秋?仪征市校级期末）如图1， BD 、 CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A作 AF BD ， AG CE，垂足分别为F、G，连接 FG，延长 AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N （ 1）试说明： FG= （ AB+BC+AC ）；（2）如图 2，若 BD 、CE 分别是 ABC 的内角平分线，则线段FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并

12、对其中的一种情况说明理由；（3）如图 3，若 BD 为 ABC 的内角平分线，CE 为 ABC 的外角平分线，则线段FG 与ABC 三边的数量关系是20（ 2007?江苏）如图，已知AD 与 BC 相交于 E， 1= 2= 3， BD=CD ， ADB=90 ，CH AB 于 H， CH 交 AD 于 F（1）求证： CD AB ；（2）求证： BDE ACE ；（3）若 O 为 AB 中点，求证： OF=BE第 7页（共 40页）21（ 2014 春?江汉区期中）如图，已知 ABC 是等边三角形，点 D， F 分别在线段 BC， AB 上，连接 FC， AD ， DE FC， EF DC（

13、1）若 D， F 分别是 BC ， AB 的中点，连接 FD，求证： EF=FD ；（ 2）连接 AE ，若 BF=CD ，求证： AED 是等边三角形22（ 2013 春?富顺县校级月考）如图， M 、 N 分别为 AD 、BC 的中点，且 AB=CD ，求证： 1=223（ 2016 春?梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD 中， AB=DC ， P 是对角线AC的中点， M 是 AD 的中点， N 是 BC 的中点（1）若 AB=6 ，求 PM 的长；（2）若 PMN=20 ，求 MPN 的度数24（ 2014?宿迁）如图，在 ABC 中，点 D， E， F 分别是 AB ， BC

14、， CA 的中点， AH 是边 BC 上的高（ 1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形；（ 2）求证： DHF= DEF第 8页（共 40页）25（ 2014?鞍山一模）（1）如图 1，在四边形ABCD 中， E、 F 分别是 BC、 AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与BA 、 CD 的延长线交于点M 、 N，则 BME= CNE，求证：AB=CD （提示取BD 的中点 H ，连接 FH ， HE 作辅助线）（ 2）如图 2，在 ABC 中，且 O 是 BC 边的中点， D 是 AC 边上一点， E 是 AD 的中点，直线 OE 交 BA 的延长线于点 G，若 AB=DC=5 ， OE

15、C=60 ，求 OE 的长度26（ 2011 秋 ?武汉月考）两只大小不同的含 45角的三角板 ABC 和 DBE 如图摆放，直角顶点重合，连接 AE ， CD， F， M ，N ， G 分别为线段 AC ，CD， ED， AE 的中点（1）如图，若三角形的两直角重合，判断四边形FMNG 的形状，并证明你的结论；（ 2）从（ 1）开始，三角板绕 B 点顺时针旋转角度 （ 0 360）时，（ 1）中的结论是否仍然成立，若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由（若画出=180的情形，并正确答题得 2 分； 若画出 =90 的情形，并正确答题得 4 分； 若画出其它的情形并正确答题得 6

16、 分请自主选择）27已知：如图，梯形 ABCD ， AB CD ，以 AC 、AD 为边向外作 ?ACED ，联结 BE ，点 F 是 BE 的中点，联结 CF求证： CF AB 第 9页（共 40页）28在四 形 ABCD 中， ACBD 相交于 O 点， AC=BD ， E、 F 分 是 AB ，CD 的中点， 接 EF 分 交 AC 、 BD 于 M 、 N ，判断三角形 MON 的形状，并 明理由29如 ，四 形 ABCD 中， AB=CD ， M、 N、 E、 F 分 是 BD 、 AC， BC、 MN 的中点，求 ： EFMN 30如 ，在 ABC 中， BC=a 若 D 1，E1

17、 分 是 AB ， AC 的中点， D1E1=；若D2， E2 分 是 D1B ， E1C 的中点， D2E2=；若 D 3， E3 分 是 D2B， E2C的中点， 若 DnEn 分 是 Dn1B， En 1C 的中点， DnEn 的 是多少（ n 1，且 n 整数， 果用含a， n 的代数式表示）？第10页（共 40页）2016 年 05 月 30 日 wx98wx 的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30 小题）1（ 2013?常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC ，Rt CEF ， ABC= CEF=90 ，连接 AF ， M 是 AF 的中点，连接MB 、 ME （1）

18、如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB CF ；（ 2）如图 1，若 CB=a ，CE=2a，求 BM ， ME 的长；（ 3）如图 2，当 BCE=45 时，求证： BM=ME 【解答】 （1）证法一：如答图 1a，延长 AB 交 CF 于点 D ，则易知 ABC 与 BCD 均为等腰直角三角形， AB=BC=BD ，点 B 为线段 AD 的中点，又 点 M 为线段 AF 的中点，BM 为 ADF 的中位线，BM CF证法二：如答图 1b，延长 BM 交 EF 于 D ， ABC= CEF=90 ，AB CE， EF CE，AB EF， BAM= DFM ，M 是 AF 的

19、中点，AM=MF ，在 ABM 和 FDM 中， ABM FDM （ASA ）， AB=DF ， BE=CE BC ， DE=EF DF， BE=DE ，第11页（共 40页） BDE 是等腰直角三角形， EBM=45 ，在等腰直角 CEF 中， ECF=45 ， EBM= ECF，MB CF；（2）解法一：如答图 2a 所示，延长AB 交 CF 于点 D ，则易知 BCD 与 ABC 为等腰直角三角形， AB=BC=BD=a ，AC=CD=a，点 B 为 AD 中点，又点M 为 AF 中点，BM=DF分别延长FE 与 CA 交于点 G，则易知 CEF 与 CEG 均为等腰直角三角形，CE=E

20、F=GE=2a ， CG=CF=a，点 E 为 FG 中点，又点M 为 AF 中点，ME=AG CG=CF=a， CA=CD=a，AG=DF=a，BM=ME=a=a解法二：如答图1b CB=a ， CE=2a， BE=CE CB=2a a=a， ABM FDM ， BM=DM ，又 BED 是等腰直角三角形， BEM 是等腰直角三角形，BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图 3a，延长 AB 交 CE 于点 D ，连接 DF，则易知 ABC 与 BCD 均为等腰直角三角形， AB=BC=BD ， AC=CD ，点 B 为 AD 中点，又点M 为 AF 中点， BM=DF 延长 FE 与 C

21、B 交于点 G，连接 AG ，则易知 CEF 与 CEG 均为等腰直角三角形， CE=EF=EG ，CF=CG ，点 E 为 FG 中点，又点M 为 AF 中点， ME=AG 第12页（共 40页）在 ACG 与 DCF 中， ACG DCF （ SAS），DF=AG ，BM=ME 证法二：如答图 3b，延长 BM 交 CF 于 D ，连接 BE、 DE， BCE=45 ， ACD=45 2+45=135 BAC+ ACF=45 +135=180，AB CF， BAM= DFM ，M 是 AF 的中点，AM=FM ，在 ABM 和 FDM 中， ABM FDM （ASA ）， AB=DF ，

22、BM=DM ， AB=BC=DF ，在 BCE 和 DFE 中， BCE DFE （ SAS ）， BE=DE ， BEC= DEF ， BED= BEC+ CED= DEF+ CED= CEF=90 ， BDE 是等腰直角三角形，又 BM=DM ，BM=ME=BD ，故 BM=ME 第13页（共 40页）第14页（共 40页）2（ 2010?顺义区）在 ABC 中， AC=BC ， ACB=90 ，点 D 为 AC 的中点（1）如图 1， E 为线段 DC 上任意一点，将线段DE 绕点 D 逆时针旋转90得到线段 DF ，连接 CF，过点 F 作 FH FC，交直线AB 于点 H判断 FH

23、与 FC 的数量关系并加以证明；（2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明【解答】 解：（ 1） FH 与 FC 的数量关系是：FH=FC 证明如下：延长DF 交 AB 于点 G，由题意，知 EDF= ACB=90 ， DE=DF ，DG CB ，点 D 为 AC 的中点，点 G 为 AB 的中点，且，DG 为 ABC 的中位线，AC=BC ，DC=DG ，DC DE=DG DF ，即 EC=FG EDF=90 ， FH FC， 1+ CFD=90 ， 2+ CFD=90 ， 1= 2 DEF

24、 与 ADG 都是等腰直角三角形， DEF= DGA=45 ，第15页（共 40页） CEF= FGH=135 ， CEF FGH， CF=FH （ 2） FH 与 FC 仍然相等理由：由题意可得出： DF=DE ， DFE= DEF=45 ，AC=BC ， A= CBA=45 ， DF BC ， CBA= FGB=45 ， FGH= CEF=45 ，点 D 为 AC 的中点， DF BC ，DG=BC， DC=AC ，DG=DC ，EC=GF ， DFC= FCB ， GFH= FCE，在 FCE 和 HFG 中， FCE HFG（ ASA ）， HF=FC 3（ 2008?黄石）如图， A

25、BM 为直角，点 C 为线段 BA 的中点，点 D 是射线 BM 上的一个动点（不与点 B 重合），连接 AD ，作 BE AD ，垂足为 E，连接 CE，过点 E 作EF CE，交 BD 于 F（1）求证： BF=FD ；（2） A 在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由；第16页（共 40页）（ 3） A 在什么范围内变化时，线段 DE 上存在点 G，满足条件 DG= DA ，并说明理由【解答】 （1）证明：在Rt AEB 中，AC=BC ， CE= AB ，CB=CE ， CEB= CBE CEF= CBF=90 ， BEF= EBF， EF=BF BEF+ FED=90

26、 ， EBD+ EDB=90 ， FED= EDF BF=FD ；（ 2）解：由（ 1） BF=FD ，而 BC=CA ， CF AD ，即 AE CF若 AC EF，则 AC=EF ， BC=BF BA=BD ， A=45 0 A 90且 A45时，四边形 ACFE 为梯形；（ 3）解：作 GH BD ，垂足为 H，则 GH AB DG= DA ，DH=DB 又 F 为 BD 中点， H 为 DF 的中点GH 为 DF 的中垂线 GDF= GFD 点 G 在 ED 上， EFD GFD EFD+ FDE+ DEF=180 ， GFD+ FDE+ DEF180 度 3 EDF180 度 EDF

27、 60 度又 A+ EDF=90 ，第17页（共 40页） 30 A 90当 30 A 90时，DE 上存在点G，满足条件DG=DA 4（ 2008?延庆县二模）（1）如图所示，BD ， CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A作 AF BD ， AG CE，垂足分别为 F，G，连接 FG，延长 AF ，AG ，与直线 BC 分别交于点 M 、 N，那么线段 FG 与 ABC 的周长之间存在的数量关系是什么？即： FG=（ AB+BC+AC ）（直接写出结果即可）（2）如图，若BD ， CE 分别是 ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段FG 与 ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你

28、的猜想，并给予证明（ 3）如图，若 BD 为 ABC 的内角平分线， CE 为 ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段 FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明答：线段 FG 与 ABC 三边之间数量关系是GF=（ AC+BC AB ）【解答】 （1） FG=（ AB+BC+AC ）；（ 2）答： FG= （ AB+AC BC）；证明：延长AG 交 BC 于 N，延长 AF 交 BC 于 M第18页（共 40页） AF BD ， AG CE， AGC= CGN=90 ， AFB= BFM=90 在 Rt AGC 和 Rt CGN 中AGC= CGN=90 ，C

29、G=CG ， ACG= NCG AGC Rt NGCAC=CN ， AG=NG同理可证： AF=FM ， AB=BM GF 是 AMN 的中位线 GF= MN AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN， BC=BN+MN+CM AB+AC BC=MN GF= MN= （ AB+AC BC）；（3）线段 FG 与 ABC 三边之间数量关系是：GF=（ AC+BC AB ）5（ 2013 春?西城区期末）如图，在 ABC 中， AC AB ， D 点在 AC 上， AB=CD ， E、 F 分别是 BC 、 AD 的中点，连结 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若 EFC=60 ，

30、联结GD，判断 AGD 的形状并证明【解答】 解：判断： AGD 是直角三角形证明：连接BD ，取 BD 的中点 H，连接 HF、 HE ，F 是 AD 的中点， HF AB ， HF= AB ， 1= 3，同理， HE CD ，HE=CD ， 2= EFC，AB=CD ， HF=HE ， 1= 2， 3= EFC，第19页（共 40页） EFC=60 ， 3= EFC= AFG=60 ， AGF 是等边三角形， AF=FG ， AF=FD ， GF=FD ， FGD= FDG=30 ， AGD=90 ，即 AGD 是直角三角形6如图所示，已知AB=CD ， AN=ND ， BM=CM ，求证

31、： 1= 2【解答】 解：连接 BD ，取 BD 的中点 G，连接 MG ， NG G、N 、 M 均为中点，GN 是 ADB 的 AB 对的中位线， GM 是 BCD 的 CD 对的中位线，NG AB ， NG=AB ， GM CD， GM=CD， 1= GNM ， 2=GME ，又 AB=CD ，MG=NG GNM= GME 1= 27已知：如图， ABC 中， A B ，CR 是 ACB 的平分线且交 AB 于 R， AQ CR，垂足为 Q， P 为 AB 的中点，求证： PQ= （ BC AC ）第20页（共 40页）【解答】 解：延长 AQ 与 BC 交于 DCR 是 ACB 的平分线， ACQ= DCQ AQC= DQC=90 ， CQ=CQ ， ACQ DCQ （ ASA ）AQ=QD ， AC=CD ，BC CD=BC AC=BD P 是 AB 的中点，且AQ=QD ，PQ 是三角形ABD 的中位线PQ=BD PQ=（ BC AC ）8如图所示在四边形ABCD 中， CD AB ， AB 与 CD 不平行， E， F 分别是 AC ， BD 的中点