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1、角形培优训练 1 00 题集锦-作者 : _-日期 : _三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角
2、平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三
3、角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。1、已知，如图 ABC中， AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围 .2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB、 AC上， DE DF，D 是中点，试比较BE+CF与AEF的大小 .EFBDC3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证： AD平分 BAE.ABDEC4、以ABC 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，BADCAE 90 , 连接 DE，M、N 分别是 BC、 DE 的中点探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC 为直角三角形时，探
4、究： AM与DE的位置关系和数量关系；（2）将图中的等腰 RtABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转(0AB， AD平分 BAC， P 为 AD上任一点，连结 PB、PC。求证： PC-PBAC-AB。26、如图 2-7-5 ，从等腰 RtABC的直角顶点 C 向中线 BD作垂线，交 BD于 F，交 AB于 E，连结 DE。求证： CDF=ADE。27、在 ABC 中， ACB 90，AC BC ，直线 MN 经过点C，且 AD MN 于 D ， BE MN 于 E.（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADC CEB；DEAD BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图
5、 2 的位置时，求证： DEAD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、已知： ABC 为等边三角形， M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A ，且 60o角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点E 不与 B、C 重合），斜边和ACM 的平分线 CF 交于点 F（1）如图（ 1）当点 E 在 BC 边中点位置时1) 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是。2) 连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜想（）如图（）当点在边得任意位置时：此时和有
6、怎样的数量关系，并说明你的理由？AANFFBECM图（ 1）BE CM图（ 2）29、已知 AC 平分 MAN ， MAN=120o，（1）在图（ 1）中，若 ABC= ADC=90o，求证： AB+AD=AC。（2）在图（ 2）中，若 MAN=120o， ABC+ ADC=180o，则（ 1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？MMCCDDABNABN图（ 2）图（ 1）30、如图 1，在 ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若点 B、 P 在直线 a 的异侧， BM 直线 a 于点 M ， CN 直线 a 于点 N ，连接 PM、 PN
7、.（1）延长 MP 交 CN 于点 E （如图 2），求证： BPM CPE ；求证：PMPN ；（2）若直线 a 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，点 B、 P 在直线 a 的同侧，其它条件不变 . 此时 PM PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PMPN 还成立吗？不必说明理由.题图 1题图 2题图 331、如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE，GC（1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形 DE
8、FG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE和 GC你认为（ 1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.32、已知等边 ABC 和点 P，设点 P 到 ABC三边 AB、AC、BC的距离分别为 h1、h2、 h3， ABC的高为 h。 “若点P 在一边 BC上（如图 1），此时 h3=0, 可得结论h1+h2+h3 h”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在 ABC内（如图2）、点P 在 ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成AAA立， h1、 h2、h3 与 h 之间的关系如何？请写出你的猜
9、想，不需证DDEEPDFEBM P C B M F C B M C P33、在 Rt ABC 中， A90，CE 是角平分线，和高AD 相交于 F，作 FGBC 交AB 于 G，求证： AEBGAEGFBCD34、如图，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD ，相交于点 E，连结 BC（1）求 AEB 的大小；BCBCEEDOAOAD（ 2）若 OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（ OAB 和 OCD 不能重叠），求 AEB 的大小 .35、如图，图1
10、等腰ABC 与等腰DEC 共点于C ，且BCAECD ，连结BE、AD ，若 BCAC 、 ECDC 求证：； 若将等腰DEC 绕点 C 旋转至图 2、 3、 4 情况时，其余条件不变，BE 与 AD 还相等吗？为什么 ? （请你用图 2 加以证明）36、如图 1， Rt ABC 中， ABAC ，点 D 、 E 是线段 AC 上两动点，且 ADEC ，APBD 于P ，交 BC 于点 Q ，直线 BD 交直线 QE 于 F .判断 DEF 的形状，并说明理由 .如图 2，若点 D 、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，判断DEF 的形状，并说明理由 .37、如图 1，在等腰直角ABC
11、 中，ACB90 ， O 为 AB的中点， P 为 AB 上一动点， D 在 BC 上，且满足 PCPD ， DEAB 于 E . 求证： PODE 如图 2，点 D 在 BC 的延长线上，其他条件不变，中的结论是否成立？ 在图 3 中画出当点 P 在 BA延长线上的情况，并给出相应的证明； 还有什么样的情况？在图4 中画出图形，给出证明.38、已知，如下图， BAC BCA,BD CD,CEAB,求证： AE 2AD。39、如图，已知 ABC是等边三角形， E 是 AC延长线上的任意一点，选择一点D，使得 CDE是等边三角形，如果M是线段 AD的中点， N是线段 BE的中点，求证：CMN是等
12、边三角形。40、如图，在 ABC 中，点 D、E 在边 BC 上， CAE B，E 是 CD 的中点，且AD 平分 BAE.(1) 当 BAC=90时，求证：BD=AC.CE(2) 当 BAC90时，是否还有 BD AC 成立？D若成立，请说明理由；若不能，也说明理由。AB41、已知：如图， ABC 中，ABC45， CDAB 于 D ， BE 平分ABC ，且BEAC 于 E ，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交A于点DG FE（1）求证： BFAC ；G（2）求证： CE1 BF ；BHC2（3） CE 与 BG 的大小关系如何？试证明你的结论42、
13、如图（ 1），一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O （点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转（1）如图（ 2），当 EF 与 AB 相交于点 M ，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM ， FN 的长度，猜想 BM ， FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 GEF 旋转到如图（ 3）所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M ，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N ，此时，（ 1）中的猜想还成立吗？若成立，请证
14、明；若不成立，请说明理由D FDFNCCDCNFOOOGEA GB EAMBAB MEG图 1图 2图 343、如图1，DEF的顶点D 在ABC 的边BC 上（不与B 、 C重合），且BACEDF180 ，ABDF，ACDE，点 Q 为 EF的中点，直线DQ 交直线AB于点P .（1） 猜想BPD 与FDB 的关系，并加以证明；（2） 当DEF 绕点 D 旋转，其他条件不变，中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2 中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）44、如左图， Rt ABC 中， C 90 ， ACBC ，一个直角三角板的直角顶点放在 AB的中点 O
15、处，绕 O 点旋转，两直角边分别交AC 于 E ，交 BC 于 F .（1） 求证： OE OF ， CE BF（2） 如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交AC 延长线于 E ，交 BC 延长线于 F .中的结论是否正确？说明理由 .45、如图，线段 AB ，点 P 在 AB 的下方， 若 PA PB ，在的 AB 上方作 A AAP ，且 A AAP ，作 B B PB ，且 B BPB ，连接 A B ，取 A B 的中点 O ，连接AOB ，试判断AOB 的形状并证明。若 PA 与 PB 不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。46、 如图 1，等腰直角AOB 与等腰
16、直角COD 有公共顶点 O ，点 C 、 O 、 B 在同一条直线上，判断AC 与 BD 的关系并加以证明 . 如图 2，等腰直角AOB 与等腰直角COD 有公共顶点 O ，点 C 、O 、 B 不在同一条直线上 .判断 AC与 BD 的关系并加以证明 .47、如图，AOB 与COD 中， OAOB ， OCOD ，AOBCOD . AC 与 BD 交于点 P . 判断 AC 与 BD 的数量关系并加以证明. 猜想CPB 与AOB 的关系并加以证明 .48、如图，在ABC 中， BE 是 AC 边上的中线， BF 平分EBC 交 AC 于 F ， APBF于 P ，分别交 BE 、 BC 于
17、H 、 G 。猜想 HE 与 CG 的数量关系并证明 .49、如图 1，锐角ABC 中， ABAC ， CD / AB ， P 为边 BC 上一点， Q 为直线 CD上一点，连接 AP 、 PQ ，使得APQBAC . 猜想线段 AP 与 PQ 的数量关系并证明； 如图 2，若将“锐角 ABC ”改为“钝角ABC ”，其他条件不变，中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由 .50、如图， ABC 中， ABAC ， CD / AB ， P 为边 BC 上一点， Q 为射线 CD 上一点，且满足 PQ PA 。请你在图中找出满足条件的点 Q ，并探究APQ 与 BAC 的关
18、系 .51、如图所示， D 在 AC 上， ABC、 ADE 是等腰直角三角形， M 是 EC 中点。（1）探究：线段 MD 、MB 的关系，并加以证明；（2）把 ADE 绕点 A 逆时针旋转 135，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是否成立？（3）将 ADE 绕点 A 逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段MD 、MB 的关系，并加以证明。52、如图（ 1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方， BC 在直线 MN 上， E 是 BC上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形AEFG（1）连接 GD，求证： ADG ABE；（2）连接 FC，观察并猜测 FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（ 2），将图（ 1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD， AB=a，BC=b（a、b 为常数）， E 是线段 BC 上一动点（不含端GG点 B、 C），以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形ADADA