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1、.2019 年全国统一高考数学试卷（新课标1)未命名一、单选题1设 z3i，则 z =12iA 2B 3C2D 12已知集合U1,2,3,4,5,6,7， A2,3,4,5，B2,3,6,7 ，则 B CU AA 1,6B 1,7C 6,7D 1,6,73已知 alog 2 0.2, b 20.2 , c0.2 0.3，则A abcB acbC cabD bca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 1（ 5 1 0.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，22最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 若某人满足上述2
2、两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A 165 cmB 175 cmC 185 cmD 190cm5函数 f(x)=sin xx在 ， 的图像大致为cos xx2A BCD;.6某学校 了解 1 000 名新生的身体素 ，将 些学生 号 1， 2， 1 000，从 些新生中用系 抽 方法等距抽取100 名学生 行体 ，若46 号学生被抽到， 下面 4 名学生中被抽到的是A 8 号学生B 200 号学生C 616 号学生D 815 号学生7 tan255 =A 2 3B 2+ 3C 2 3D 2+ 38已知非零向量A 69如 是求2a， b 足a
3、 =2 b ，且（ ab）b， 则 a 与 b 的 角 25B CD 33611的程序框 ， 中空白框中 填入2121111A A=AB A= 2C A=D A= 12A1 2A2Ax2y21(a 0,b 0) 的 一条 近 的 斜角 130 ， C 的离心率 10双曲 C:b2a2A 2sin40B 2cos40 11CD sin50cos5011 ABC 的内角 A，B， C 的 分 a， b， c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA= 1 ， b =4 cA 6B 5C 4D 312已知 C 的焦点 F1(1,0) ， F2( 1,0) ， F 2 的直 与 C 交于 A
4、， B 两点 .若 AF2 F B， AB BF， C 的方程 221;.A x2y21B x2y21C x2y21D x2y212324354二、填空题13曲线 y3( x2x)e x 在点(0,0) 处的切线方程为 _ 14记Sn为等比数列 an的前n.3S4=_项和 若 a1 1， S3，则34153cos x 的最小值为 _函数 f ( x) sin(2 x)216已知 ACB= 90， P 为平面 ABC 外一点， PC=2，点 P 到 ACB 两边 AC，BC 的距离均为3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为 _三、解答题17某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50
5、名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（ 1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（ 2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附： K 2n(ad bc)2( ab)(c d )(a c)(bd)P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，已知S9= a5（ 1）若 a3=4，求 an 的通项公式；（ 2）若 a10，求使得 Snan 的 n 的取值范围19如图， 直四棱柱ABCD A1B1C1D 1 的底面是菱形
6、， AA 1=4，AB =2， BAD=60 ，E，;.M， N 分别是 BC， BB1 ，A1D 的中点 .（ 1）证明： MN 平面 C1DE ；（ 2）求点 C 到平面 C1DE 的距离20已知函数f（ x） =2sinx xcosx x， f （ x）为 f（ x）的导数（ 1）证明： f （ x）在区间（ 0， ）存在唯一零点；（ 2）若 x 0， 时， f（ x） ax，求 a 的取值范围21已知点 A，B 关于坐标原点O 对称， AB=4， M 过点 A，B 且与直线x+2=0 相切（ 1）若 A 在直线 x+y=0 上，求 M 的半径（ 2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时
7、， MA MP 为定值？并说明理由22 选修 4-4：坐标系与参数方程x 1t 2，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1t 2（ t 为参数），以坐标原点4tyt 21O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2 cos3 sin 110 （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（ 2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23 选修 4-5：不等式选讲 已知 a， b， c 为正数，且满足abc=1证明：1111a2b22（ ）abcc ；（ 2） (a b)3(b c)3(c a)324 ;.参考答案1 C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），
8、求得 z ，再求z 【详解】因为 z3i ，所以 z(3i )(12i )17 i ，所以z( 1 )2( 7 )22 ，故选12i(12i)(12i )5555C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算 本题也可以运用复数模的运算性质直接求解2 C【解析】【分析】先求 e A ，再求 Be A UU【详解】由已知得 CU A1,6,7，所以 BCU A6,7 ，故选 C【点睛】本题主要考查交集、补集的运算渗透了直观想象素养使用补集思想得出答案3 B【解析】【分析】运用中间量 0比较 a , c ，运用中间量1比较 b , c【详解】a log 2 0.2log 2 1 0, b 20
9、.2201, 0 0.20.30.201, 则 0 c 1,a c b 故选 B 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养 采取中间变量法， 利用;.转化与化归思想解题4 B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则 2626x5 1 ，xy1052得 x 42.07cm, y5.15cm 又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为 42 07+5 15+105+26=178 22，接近 175cm故选 B【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻
10、辑推理和数学运算素养采取类比法， 利用转化思想解题5 D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得f (x) 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】sin(x)(x)sin xxf ( x) ，得 f ( x) 是奇函数，其图象关于原点对由 f ( x)x)(x) 2cos xx2cos(称又 f ( )12421, f ( )2 0 故选 D22()212【点睛】本题考查函数的性质与图象， 渗透了逻辑推理、 直观想象和数学运算素养 采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题6 C【解析】【分析】;.等差数列的性质渗透了数据分析素养使用统计思想，逐个选项判断得出答案【详
11、解】详解：由已知将1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样， 46 号学生被抽到，所以第一组抽到6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 a ，公差d10，n所以 an6 10n ( nN ) ，若 8 610n ，则 n110n ，则 n19.4 ，不合题意；，不合题意；若 200 65若 6166 10n ，则 n61 ，符合题意；若 815610n ，则 n 80.9，不合题意故选C【点睛】本题主要考查系统抽样.7 D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查
12、【详解】详解：tan 2550tan(1800750 )tan 750tan(45 0300 ) =3tan 450tan3001323.1 tan 450 tan 300313【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力8 B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由 (ab)b 得出向量 a,b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角;.公式即可计算出向量夹角【详解】因为 (ab)b ，所以 ( ab) b a b b2=0，所以 a bb2 ，所以a b| b |21，所以 a
13、与 b 的夹角为，故选 Bcos =b22a2 |b |3【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 9 A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、 分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择【详解】111， kk1 =2，循环，执行第 1次， A, k1 2 是，因为第一次应该计算21 =222A1执行第 2次， k22，是，因为第二次应该计算21=1， kk1 =3，循环，221A2执行第 3次， k22，否，输出，故循环体为A1，故选A 2A【点睛】秒
14、杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A12A10 D【解析】【分析】bbcb2由双曲线渐近线定义可得tan130 ,tan 50 ，再利用 e求双曲aa1aa线的离心率【详解】;.由已知可得btan130,btan50，aa2sin 2 50sin2 50 cos2 50ec1b1tan2 5011，aacos2 50cos2 50cos50故选 D【点睛】x2y 2cb2对于双曲线：1 a0 , b0，有e1；对于椭圆a2b2aax2y2cb21 ab0 ，有e1，防止记混a2b2aa11 A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a， b，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解
15、出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得a2 b2 4c2 ，由余弦定理推论可得1cos Ab2c2a2,c24c21 ,3c1 ,b34 6 ，故选 A 42bc2bc42b4c2【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用12 B【解析】【分析】由已知可设F2 Bn ，则 AF22n , BF1AB3n ，得 AF12n ，在AFB中求得1cosF AB1，再在 AF1 F2 中，由余弦定理得3，从而可求解 .13n2【详解】法一：如图，由已知可设F2 Bn ，则 AF22n , BF1AB3n ，由椭圆的定义有2aBF1BF24n ,AF12a AF22n 在 AF1B 中，由余弦定理
16、推论得;.cosF1AB4n29n29n21 在 AF1F2 中，由余弦定理得22n 3n34n24n22 2n 2n14 ，解得 n3 322a4n2 3 ,a3 ,b2a2c23 1 2 , 所求椭圆方程为x2y21，故32选 B 法二：由已知可设F2 Bn ，则 AF22n ,BF1AB3n，由椭圆的定义有2aBF1BF24n ,AF12aAF22n 在 AF1 F2 和 BF1F2 中，由余弦定理得4n242 2n 2 cosAF2 F1 4n2 ,AF2F1 ,BF2F1 互补，n242 n 2 cos BF2F19n2，又cos AF2 F1 cos BF2F10 ，两式消去 co
17、sAF2F1, cosBF2F1 ，得 3n26 11n2 ，解得 n3 2a 4n23 , a3 ,b2a2c23 1 2 , 所求椭圆方程为2x2y21，故选 B 32【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养13 3xy0 .【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数， 确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得;.切线方程【详解】详解： y/3(2 x1)ex3( x2x)ex3( x23x 1)ex ,所以， ky/ |x03所以，曲线y3( x2x)e x 在点 (0,0)处的切线方程为 y3 x
18、 ，即 3x y 0 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误 求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求514.8【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S4 题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】详解：设等比数列的公比为q ，由已知S3 a1a1q a1q21 q q 2 3 ，即 q2q10144解得 q，2a1(14)1(1)4所以 S4q251q181()2【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运
19、算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算SSa4Sa q33( 1)35，避免繁分式计算4331428154 .【解析】;.【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos B cosC1的二次函数，从而得解 .4【详解】f ( x) sin(2 x3)3cos xcos2x 3cos x2cos 2 x 3cos x 122(cos x3 )217，481 cos x1，当 cosx1 时， fmin ( x)4，故函数f (x) 的最小值为4 【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视1cosx1 的限制，而简单应用二次函数的性质，
20、出现运算错误162 .【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决【详解】作 PD, PE 分别垂直于AC, BC ， PO平面 ABC ，连 CO ，知 CDPD ,CDPO ， PDOD =P ，CD 平面 PDO ， OD平面 PDO ，CDOD PDPE3 ， PC2 sinPCEsinPCD3 ，2PCBPCA60 ，POCO ， CO 为ACB 平分线，OCD45ODCD1,OC2 ，又 PC2 ，;.PO422 【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难
21、解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍17（ 1） 4 , 3 ；5 5（ 2）能有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】【分析】（ 1 ）从题中所给的 2 2 列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；（ 2 ）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有 95% 的把握认为男、 女顾客对该商场服务的评价有差异.【详解】（ 1 ）由题中表格可知，50 名男顾客对商场服务满意的有40 人，404所以男顾客对商场服务满意率估计为P1,50550 名女顾客对商场满意的有30
22、人，303所以女顾客对商场服务满意率估计为P2,505;.（ 2 ）由列联表可知K 2100(40203010)21004.7623.841，7030505021所以能有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算 K 2 的值，独立性检验，属于简单题目.18（ 1） an2n10 ；（ 2） 1 n10(nN ) .【解析】【分析】（ 1 ）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于a1 和 d 的方程组，求得a1和 d 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（ 2 ）根据题意有
23、a50，根据 a10 ，可知 d0 ，根据 Snan ，得到关于 n 的不等式，从而求得结果 .【详解】（ 1）设等差数列an的首项为 a1 ，公差为 d ，9a198 d(a14d)，根据题意有2a12d4a188(n1) (2)2n 10 ，解答，所以 and2所以等差数列 an的通项公式为 an2n10；（ 2）由条件 S9a5 ，得 9a5a5 ，即 a50 ，因为 a10 ，所以 d0，并且有 a5a14d0 ，所以有 a14d ，由 Sn an 得 na1n(n1) da1(n1)d ，整理得 ( n29n)d(2n 10)d ，2因为 d0 ，所以有 n29n2n10 ，即 n2
24、11n 100 ，;.解得 1n10 ，所以 n 的取值范围是：1n10(nN )【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.19（ 1）见解析；（ 2） 4 17 .17【解析】【分析】（ 1 ）利用三角形中位线和AD/ /B C可证得 ME/ /ND ，证得四边形 MNDE 为平行四边形，11进而证得 MN / / DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（ 2 ）根据题意求得三棱锥C1CDE 的体积，再求出C1DE 的面积，利用 VC1 CDEVC C1DE求得点 C 到平
25、面 C1 DE 的距离，得到结果.【详解】（ 1 ）连接 ME ， B 1CM ， E 分别为 BB1 ， BC 中点ME为B1BC 的中位线ME/ /BC且 ME1B1C12又N为 A D中点，且AD/ /BC1111ND / / BC 且 ND B1C12ME/ /ND四边形 MNDE 为平行四边形;.MN / / DE ，又 MN平面 C1DE ， DE 平面 C1DEMN / / 平面 C1 DE（ 2 ）在菱形 ABCD 中， E 为 BC 中点，所以 DEBC ，根据题意有 DE3 ， C1E17 ，因为棱柱为直棱柱，所以有 DE平面 BCC1 B1 ，所以 DEEC1，所以 S
26、DEC1117 ，32设点 C 到平面 C1DE 的距离为 d ，根据题意有 VC1CDEVC C1DE ，则有 11317 d11 1 3 4 ，3232解得 d441717，174 17所以点 C 到平面 C1 DE 的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.20（ 1 ）见解析；（ 2 ） a,0 .【解析】【分析】骣 p（ 1 ）求导得到导函数后，设为g x 进行再次求导，可判断出当?0 ，x 西?0,时， g x?2桫当 x,时， g x 0，从而得到 g x 单调性， 由零点存在定理可判断出唯一零点所2处的位置，证得结论； （ 2 ）构造函数h xfxax ，通过二次求导可判断出;.hx minh2 a ， h x maxh2a ；分别在 a2 ， 2a 0 ，220a22h x 单调性，从而确定和 a的情况下根据导函数的符号判断22h x0恒成立时 a