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1、习题 3.11设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布函数F ( x, y) A( Barctgx )(C arctgy ) ，求常数 A 、 B 、 C (x,y) 解：由分布函数 F ( x, y) 的性质得：F (,)A( B)(C) 1 ；22F (, y)A( B)(Carctgy )0 ；2F ( x,)A(Barctgx )(C)0；2从而 B2， C， A12 。22. 设有 10 件产品，其中 2 件是次品， 8 件是正品，从中依次随机取出二件，每次取一件， 取后不放回。 以 X 表示第一次取的次品数， 以 Y 表示第二次取到的次品数，求 ( X ,Y ) 的分布列 .解
2、： X 与 Y 可能的取值都为： 0,1 ，则分布列为Y10X2880454581145453把一颗均匀的骰子随机的抛两次，设随机变量 X 表示第一次出现的点数，随机变量 Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量( X ,Y) 的分布列解： X 与 Y 可能的取值都为： 1，2,3,4,5,6则分布列为Y123456X11111113636363636362021111363636363630031113636363614000411363636500005136366000060364 一口袋中有三个球，它们依次标有数字 1、2、2，从袋中任取一球后，不放回袋中， 再从袋中任取一球。 设
3、每次取球时， 袋中各个球被取到的可能性相同，用 X 和 Y 分别表示第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(1) ( X ,Y ) 的分布列；(2) 求 P( XY) 解： (1) 由题意知： ( X ,Y ) 的可能取值为(1,2)、 ( 2,1) 、 (2,2) ，而P X1,Y2P( X1)P(Y2 X1)111 ；33P X2,Y1P( X2)P(Y1 X2)211 ；323P X2, Y2P( X2)P(Y2 X2112)233所以， ( X ,Y ) 的分布列为：Y12X101321133(2) P( X Y)P X 1,Y 1 P X2,Y 1 P X 2,Y 20112 。33
4、3若采用有放回的抽取方式， 则 ( X , Y) 的可能取值为 (1,1) 、(1,2) 、( 2,1) 、(2,2) ，而PX1,Y1P( X1)P(Y1)111 ；339PX1,Y2P( X1)P(Y2)122 ；339PX2,Y1P( X2)P(Y1)122 ；3392224P X2,Y2P( X2)P(Y2)339所以， ( X ,Y ) 的分布列为：Y12X1129922499(2) P( X Y) PX1,Y1 P X2,Y 1 P X 2,Y 21247 。99995 设 ( X ,Y ) 的分布列为：Y012X-10.250.05000.150.0510.10.30.1求（ 1
5、） P( XY ) ；（2） P( XY ) ；（ 3） P( X Y 0) P( XY )P( X1,Y0)P( X1,Y1)P( X1,Y 2)解 （1）P( X0,Y1) P( X0, Y2)P( X 1,Y0)P( X1 , Y2 ).0.（ ） P( XY)P(X1,Y1)P( X0,Y0)P(X1,Y1)0.35；2（ 3）P( XY0)P(X1,Y1)P(X0,Y0)0.056 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为ce ( 2 x 4 y )0 x, yf ( x, y)其它0(1) 确定常数 c ；(2) 求 p( X Y) 解： (1)利用密度函数的性质可得：1
6、f (x, y) dxdyce (2 x 4 y) dxdyc e 2 xdxe 4 ydy1 c000083于是 c8；(2) P( XY)f ( x, y) dydx2e 2 xx4 ydydx(2e 2x2e 6x )dx4ex000y112 337设二维连续型随机变量(X ,Y) 的联合密度函数为f ( x, y)k (2xy)0x2,1y20其它求： (1)常数 k ；(2)p( X1 ,Y 2) ；(3)p( X1) ；(4)p( XY3) 2222y221解： (1)xy)dyxy9k1，所以 kdxk(2 k(2 y2) dx;01019（ 2） p( X1 , Y 2)114
7、 ;2 dx k (2 x y)dy229019(3)p( X1)122xy)dy5;9dx(2911(4)p( XY3)122(2x12(4 xx2979dxy)dy2)dy1813x9 128. 设二维随机变量 (X , Y) 的联合密度函数为f ( x, y)(1 y)0x y10其他，求(1) p( X0.5,Y0.5) ；(2)p( X0.5)和 P(Y0.5) ； (3) p( X Y 1) 解：（1） p( X0.5,Y0.5)1(1y)dxdy11 ；y0.50.54829(2)P( X0.51(1y)dxdy0.5)x480P(Y0.5)0.50.5(1y)dxdy1 ；0x
8、63 (3)p( XY1)0.51xy)dxdy0x(189 设二维随机变量 ( X ,Y) 在 G 上服从均匀分布，其中 G0y1,| x |y ，求 ( X ,Y ) 的密度函数？4解：由题意知区域 G 的面积为 A11 21，所以 ( X ,Y ) 的密度函数为2f (x, y)10y1,| x |y 0其它10. 设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为10 x1,0 y 2f ( x, y)20其他求： X 与 Y 中至少有一个小于0.5 的概率。解： P( X 0.5 Y 0.5) 1P( X0.5,Y0.5)11215dydx80.50.5211. 设 X 与 Y
9、 为从 0, 4 中随机取出的两个数，求 (1) 两数都小于等于 3 的概率； (2) 两数都大于 3 的概率 .解： (1)由题意知 ( X ,Y ) 服从二维均匀分布且联合密度函数为10 x 4,0 y 4 ,f (x, y)160其他P( X3,Y4411;3)dxdy1633 1619(2)P( X3,Y 3)33dxdy.00 161612为了控制某种零件的生产质量，零件的尺寸超过容许的上限的概率为P10.06 ，超过容许下限的概率为P2 0.02 。因此，在容许的界限内的概率为P0.92 。现在独立的随机抽取（不放回） 100 件零件，求其中有 x 件和 y 分别超过容许上限和容许
10、下限的概率 ?解：设 X 和 Y 分别是在被抽取的100 件零件分别超过容许上限和容许下限的的件数，他们可能的取值为 x, y 0,1,2, ,100且x y100 。由题意知 ( X ,Y) 服从参数为 (100,0.06,0.02,0.92,)的多项分布，所以 (X ,Y)的联合分布为P( X x,Y y)100!0.06 x 0.02 y0.92100 x y x! y!(100 xy)!5习题 3.21设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布函数F (x, y)12 (arctgx )(arctgy )22求关于X和Y的边际分布函数FX( )和FY( y)x解： FX ( x)F
11、( x,)12arctgx arctg ()1 (arctgx ) ；12212FY ( y)F (, y)arctg ()arctgy arctgy ) 22(222 求习题 3.1 第二题中关于 X 和 Y 的边际分布列？解：在无放回抽取方式下( X ,Y ) 的分布列为：Y12X101321133所以， X 的边际分布列为：X12P(Xxi)1233Y 的边际分布列为：Y12P(Yyi )1233在有无放回抽取方式下 ( X ,Y ) 的分布列为：Y12X1129922499所以， X 的边际分布列为：X1212P(Xxi )336Y 的边际分布列为：Y1212P(Yyi )33上例表明
12、， X 与 Y 的联合分布列不能由边际分布列唯一确定3设 X 与 Y 独立，下表给出了二维随机变量( X ,Y ) 的分布、边缘分布的部分值，将其余概率填入表中空白处Y23P(Yyi )X-1018118P( X1xi )6解：由独立性及边际分布的定义得Y23P(Yyi )X-111110812424131318448P( X112xi )2664设二维随机变量 ( X ,Y ) 密度函数xye ( x y)x0, y0，f ( x, y)其他0求 X 与 Y 的边际密度函数 f X ( x) 和 fY ( y) 解： fX ( x)f (x, y)dyxye ( x y) dyxe x( x
13、0) ；0fY ( y)f ( x, y)dxxye (x y )dx ye y( y0) 0xe xx 0ye yy0所以 f X ( x)其他， fY ( y)其他0075设二维随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为f ( x, y)10x 1,| y |x0其他求关于X和Y的边际密度函数() 和f XxfY ( y)x0x12x0x1解： fX( x)f ( x, y)dy1 dyx0其它0其它11y01 dx1y1y0y1fY ( y)f (x, y) dx0y11y0y11 dxy00其它其它1 | y | y | 1 0其它6 若 X 和 Y 都是服从正态分布的随机变量，则(X
14、,Y) 也服从正态分布吗？解：设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为1x2y2e21sin xsin y， (x,y)f ( x, y)2由于 sin x 为奇函数，所以 X 和 Y 边际密度函数为：1x2y2f X ( x)f ( x, y)dye2 (1sin xsin y)dy21 e21e2同理可得：x2y2y 22(e2e 2 sin x sin y)dyx2y21x22e2 dye221y 2fY ( y)e 22即 X N (0 , 1)和 Y N (0 , 1) ，但 ( X ,Y) 却不是服从二维正态分布的87证明定理证明：充分性：因 ( X ,Y) 的联合密度函
15、数为1( x1 ) 2 ( y2 )21(2)f ( x, y)e 2212212边际密度函数为1( x1 )21( y 2 )2fX ( x)e2 12； fY ( y)2e2 22212所以f ( x, y)fX ( x) fY ( y)必要性：因 X 与 Y 相互独立，所以对任意实数x 、 y ，均有f ( x, y)f X (x) fY ( y)取 x1 ， y2 得1f ( 1, 2 )f ( 1 ) f (2 )11212221212从而08 设随机变量 (X ,Y) 的联合分布函数为：F ( x, y)1(arctgx )(2arctgy ) (x,y)22试证明 X 与 Y 是
16、相互独立证明：关于 X 和 Y 的边际分布函数 FX ( x) 和 FY ( y) 分别为：FX ( x)F ( x,)12arctgx 2arctg ( )1 (arctgx ) ；1221 (2FY ( y)F (, y)arctg ()arctgy arctgy ) 222所以，对任意实数 x 、 y ，均有( ,)( ) ( )，故X 与 Y相互独立F x yFX x FY y9已知 X U 0,2,Y N (0,1) ，且 X 与 Y 相互独立，求 ( X ,Y ) 的密度函数解：因为 X 与 Y 相互独立，f ( x, y)f X ( x) fY ( y) ，且91x21y2f X
17、 ( x)0， fY ( y)2 , (y) ，所以2e0其他21y2e 20 x2，yf ( x, y)f X (x) f Y ( y)2 20其他10设随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布函数为1xyx 1, y 1；f ( x, y)40其他判断 X 与 Y 是否相互独立1 1xydy11解： fX ( x)f (x, y)dy4x；120其他1 1 xy1y1fY ( y)f ( x, y)dxdy21, y 1 时，14，当 x0其他f ( x, y)fY ( y) fX ( x) ，所以 X 与 Y 不相互独立11已知 X U 0,1,Y E(1) ，且X 与 Y相互独立，求 P
18、( X Y 1) 解：因为 X 与 Y 相互独立， f ( x, y)f X ( x) fY ( y) ，且f X ( x)10 x1， fY ( y)e yy 0 ，所以0其他0其他f ( x, y)f X (x) fY ( y)ey0 x，0y 所以10其他P( X Y11 xe 1 1)e ydydx00习题 3.31设 ( X ,Y ) 的分布列为10P( X ,Y)Z1XYZ2XYXZ3YZ4maxX,YZ5minX,YY112X11038812008213088求（ 1 ）Z1XY；（ ）XY；（ ）X ；（4）Z4max X ,Y及2 Z23Z3YZ5min X ,Y 的分布列？
19、解：将 ( X ,Y ) 及各个函数的取值对应列于下表中：10301020188888（-1 ，（-1 ，1） （-1 ，2） （2，-1） （2，1） （2，2） （3，-1 ） （3，1） （3，2）-1 ）-2011342450233104211-11-221-33322-112222333-1-1-1-112-112将上表中 Z1 ， Z2， Z2 ， Z4 ， Z5 重复的取值所对应的概率求和，整理得Z1 ，Z2 ， Z2 ， Z4 ， Z5 的分布列：Z121235P1321188888Z20134P1232888811Z3-3113222P2311188888Z4-123P143
20、888Z5-112P6118882设随机变量 X 与 Y 独立同分布，P( X i ) pqi 1(i1,2, ),P(Y j )pq j 1 ( j1,2,) ，求随机变量 ZXY 的分布律k解： P( X Y k )P( X r )P(Y r k)r0kk( pq r 1)( pq r k 1 )( p2 q2 r 2 k ) r 0r03 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 与 Y 具有同一分布列，X 的分布列为：X01P( Xxk )1122试求随机变量 Zmax X ,Y 的分布列解：由题意知： Z 的可能取值为0、 1，而P(Z0)P(max X , Y0)P( X 0,Y0
21、)P( X0) P(Y0)111 ；224P(Z1)P(max X ,Y1)P( X1, Y0)P( X0,Y 1)P( X 1,Y 1)P( X1)P(Y 0)P( X0) P(Y1)P( X1)P(Y1)121111113 ；2222224于是随机变量 Z 的分布列为：Z01P( Zzk )13444设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为f (x, y)3x0yx1；0其他求ZX Y的密度函数() f Zz解： Z 的分布函数FZ (z)P(Zz) P( XY z)f ( x, y)dxdy .XYzzy3 z3 ；当 z0时， FZ (z)0；当 0z1时， FZz(z)23xdx0y8zx1z y13当 1z2 时， FZ2(z)003xdyz3xdy(812zz ) ；