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1、教学案例课题：线段的定比分点教学目的：1 掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；2 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；3 理解点 P 分有向线段 P1 P2 所成比的含义；4 明确点 P 的位置及范围的关系教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分0 还是授课类型：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2向量加法的交换律：a + b = b +a3向量加法的结合律：( a +b ) + c = a + (b
2、 + c )4向量的减法向量a 加上的 b 相反向量， 叫做 a 与 b的差 即： ab = a + ( b)5差向量的意义：OA = a,OB = b, 则 BA = ab即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量6实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作：a（1） | a |=| | a | ；（ 2） 0时 a 与 a 方向相同； 0(内分 )(外分 ) 0 ( -1)( 外分 ) 0(-1 0)2 定比分点坐标公式：若 点P (x1,y1)， (x2,y2) ， 为 实 数 ， 且 P1 P PP2， 则 点 P 的 坐 标 为x1x2 , y1y2（
3、11），我们称为点 P 分 P1 P2 所成的比设 P1 P = PP2点 P1, P, P2 坐标为 (x1,y1) (x,y) (x2,y2) ，由向量的坐标运算P1P =(x-x1,y-y1)， PP2 =( x2-x, y2-y) P1 P = PP2 (x-x1,y-y1) = ( x2-x, y2-y)第 2页共 7页xx1x21xx1( x2x)yy1y2 yy1( y 2y)1定比分点坐标公式 (1)点 P 分 P2 P1所成的比与点P 分 P P所成的比是两个不同的比，要注意方向123 点 P 的位置与的范围的关系：当时，P1 P 与 PP2同向共线，这时称点P 为 P1P2
4、 的内分点特别地，当时，有P1 P PP2 ，即点P 是线段之中点，其坐标为x1x2 , y1y2（ 22）当 (1)时， P1P 与 PP2反向共线，这时称点 P 为 P1 P2 的外分点探究：若、是直线l 上的两点，点 P 是 l 上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使P1 P PP2 ，叫做 P 分有向线段 P1P2 所成的比而且，当点 P 在线段上时，；当点P 在线段或 2 1 的延长线上时，对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)若，则点P 为线段的内分点；(2)若，则点P 为线段的外分点一般来说， (1)是正确的，而(2)却不一定正确 这是因为，当时，定比分点的坐标公x1 x2y
5、1y2式1和 1显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存在由此可见，当点P 为线段的外分点时，应有且4 线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设 OP， OP，12由于 P P OP OP OP， PP OP OP OP1122且有 P1 P2 PP2 ，所以 OP-a= (b- OP ) 即可得ab1bOP = 11a1这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用三、讲解范例：第 3页共 7页例 1 已知 A(1，3)，B(， )，（，）为三角形的三个顶点， L、M 、N 分别是 BC、CA、 AB 上的点，满足 BL BC CM CA NAAB，求 L、 M、 N 三点的坐标分
6、析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点 L、M 、 N 分向量 BC 、 CA 、 AB 所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标另外，要求L、 M、 N 的坐标，即求OL 、 OM 、 ON 的坐标 (这里 O 为坐标原点 )，为此，我们可借用定比分点的向量形式下面给出第二种解法解：（，） ，（，） ，（，） ， OA（，） ， OB （，） ， OC （，）又可得： L 分 CB ， M 分 AC ， N 分 BA 所成的比均为111221 OL 1OC 1OB 3（，）3（ -2，0 ）=（ - 3， 3）11255OM = 1OA +1OC= 3(1,3)+
7、3（，）（ 3 ， 3 ）112ON 1OB 1OA 3 （，）3（，）（，）2155（ 3 ， 3 ）、（ 3 ， 3 ）、（，）为所求上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用例 2 已知三点 A(0， 8)， B(， )，（，） ，点内分 AB 的比为，E 点在 BC 边上，且使 BDE 的面积是ABC 面积的一半，求DE中点的坐标分析：要求 DE 中点的坐标，只要求得点D、 E 的坐标即可，又由于点 E 在 BC 上， BDE 与 ABC有公共顶点B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解DB14AB 3解：由已知有 AD 3 DB ，则得S又 SBD
8、EABC112 ，而2 DB BE sinDBE，第 4页共 7页12 AB BC sin ABC，且 DBE ABCDBBE1BE2ABBC2BC3，即得：BE2BC，点 E 分 BC 成比又点 E 在边 BC 上，所以由定比分点坐标公式有xE42521202(3)2yE12,即（，） ，又由01(4)3xD1113yD86113,有 D（，）记线段 DE 的中点为 M(x,y), 则2(1)1x222621y2,即 M（ 2 ，）为所求四、课堂练习：1已知点 A(， - )，点（，） ，延长 AB 到 P，使 AP PB ，求点 P的坐标解：因为点 P 在 AB 上的延长线上， P 为 A
9、B 的外分点，所以，AP PB ，又根据 AP PB ，可知，由分点坐标公式易得P 点的坐标为（，） 12已知两点P（，），（，） ，求点 P( 2 ， )分 P1 P2 所成的比及的值第 5页共 7页解：由线段的定比分点坐标公式得13 (8)52117y2349y1，解得22五、小结六、课后作业：1 已知点 A 分有向线段 BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（）1A 点 C 分 AB 的比是 - 3B 点 C 分 BA 的比是 -32C 点 C 分 AC 的比是 - 3D 点 A 分 CB 的比是 27P1 P2 所成的2 已知两点 P（，） 、（，） ，点 P（ 3 ，）分有向线段比为
10、，则、的值为（）1111A 4 ，B4 ，C 4 ，D ， 83 ABC的两个顶点 A(3，7)和 B(-2，5)，若 AC 的中点在 x 轴上， BC的中点在 y 轴上，则顶点 C 的坐标是（）A (2， -7)B (-7， 2)C (-3， -5)D (-5， -3)4已知点 A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=5 ABC的顶点 A(2， 3)， B(-4， -2)和重心 G(2， -1)，则 C 点坐标为6 已知 M 为1ABC 边 AB 上的一点，且8 ，则M 分 AB 所成的比为7 已知点 A(-1,-4) 、B(5,2)，线段 AB 上的三等分点依次为P、，求、点的坐标以及 A、 B 分 P1P2 所成的比y2 x88 过 P（，）、（，）的直线与一次函数55 的图象交于点P，求 P分 P P 所成的比值129 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边 AB、CD 的中点分别为M(3 ，0)、N(-1， -2) ，求平行四边形的各个顶点坐标71参考答案： 1 D 2C 3 A 4 2 或 25 (8,-4) 67第 6页共 7页17P1(1,-2),P2(3,0),A、 B 分 p1 p2 所成的比1、 2 分别为 - 2 ,-25812 9 （，） ，（，） ，（，）七、板书设计（略）八、课后记：第 7页共 7页