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1、第一章集合与简易逻辑第一课时： 1.1 集合的概念教学目的：知识目标：掌握集合、子集、全集、空集的概念，熟练运用集合的各种表示方法及集合与集合、元素与集合的关系符号能力目标：能够将两集合间的关系和方程与不等式相互转化，求解相关问题；情感目标：能正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化；学会集合中的分类思想，学会有条理的分析问题。教学重点、难点及其突破：集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点。本节复习的重点是： (1) 集合中元素的确定性、互异性和无序性； (2) 表示集合的列举法、描述法和图示法； (3) 集合语言与集合思想的运用。解答集合问题，要正确理解集合的有关概念，对
2、于用描述法组出的集合x xP ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P熟练掌握集合的图形表示 ( 即韦恩图或称文氏图 ) 、数轴表示等基本方法，并树立借助韦恩图、数轴解决集合问题的意识属于“画图意识”或“数形结合意识”这一大意识明确集合元素的确定性、互异性和无序性，并注意此性质在解题中的应用。教学方法：讲练结合法。高考要求及学法指导：高考对集合概念考查有两种主要方式：一是直接考查集合概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用，小题目综合化是这部分内容的一种命题趋势。解决的关键是抓住集合中元素的三个特性， 明确元素的本身属性， 正确进行 “集合语言” 和普通“数学语言”的相
3、互转化知识网络教学过程：一、知识点复习：1、集合的概念：由一些确定对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做这个集合的元素；含有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集如果a 是集合 A 的元素， 就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 的元素， 就说 a 不属于 A，记作 aA 。2、集合的表示法：列举法：如方程x210的解集表示为 ，11描述法：如方程 x210的解集表示为x x 2103、集合的特性：(1) 确定性对于集合 A 和某一对象 x，有一个明确的判断标准是xA，还是 xA ，二者必居其一，不会模棱两可(2) 互异性集合中的相同元素只算是一个
4、，如方程x22x 10的两个等根 x1x21 ，第1页共 5页用集合记为 1 ，而不写为 1 ， 1 (3) 无序性集合中的元素是不排序的如集合1 ，2 与 2 ，1 是同一个集合，（但实际上书写时还是按一定顺序写，如 l ， 0， 1，2 而不写成 0 ，1， 1，2 这样写不方便）其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”思考： (1 ， 2) 与 (2 ， 1) 表示同一集合吗?4、子集、交集、并集和补集：(1) 子集：对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A叫做集合B 的子集，记作AB( 或 BA) ，显然 AA 规这空集是任何集合的子集即A如
5、果 A 是 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A B( 或 B A) (2) 集合相等：若AB 且 BA ，则 A=B(3) 交集：由所有属于集合A，且属于集合B 的元素组成的集合，叫做 A、B 的交集， 记作 A B = x xA 且 xB (4) 并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A、 B 的并集，记作 A B，即 A B x xA 或 xB (5) 补集： 集合 A 是集合 U 的子集， 由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合， 叫做 U 中子集 A的补集，记作 Cu A，即： Cu A=x
6、x U，且 x A二、例题选讲：（一）基础知识扫描1、集合中元素具有_ 性、 _性、 _ 性，集合的表示方法有 _、 _、 _ ，元素与集合用_ 联结，集合与集合用 _ 联结，2、已知 A= x x2n1, nZ ， B= x x4n1, nZ ，则下列结论不正确的是( )A.ABB.BAC.A=BD.AB3、已知集合xZ6N *，用另一种方法表示为_ 。5m4、若 Py yx2 , xR ， Q( x, y) yx2 , xR ，则 ( )A.PQB.PQC.P = QD.PQ5、下列命题中真命题的个数是( ) 0； ； 00；aA 1B 2C 3D 46、集合 1 ， 2，3 的子集共有
7、()A 7 个B 8 个C 6 个D 5 个（二）典型例题分析：第2页共 5页题型 1：集合的基本概念此类问题主要有两类， 一是元素和集合之间的关系问题； 二是集合与集合之间的关系问题 关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性然后依据集合的有关概念，特别是集合中元素的三个性质；对于用描述法给出的集合xA P(x) ，竖线前方的x 是代表元素该集合是使命题p(x) 为真的 A 中诸元素之集合例 1选择题： (1) 已知集合Pyx21 ， Q= y yx21 ， R= x yx 21 ， M=(x, y) yx 21 ， N= x x1 ，则 ( )A.P=MB.Q=RC
8、.R=MD.Q=N(2) 定义差集 MNx xM且 xN ，若 A=1， 2， 3，4， 5 ，B=2 ， 3，6 ，则 B A等于 ( )A AB BC 6D 1 ，4， 5解析(1)集合 P 是用列举法表示，只含有一个元素，即函数yx21，集合 Q,R,N 中的元素全是数，即这三个集合都是数集集合Q是函数yx 21的值域 1 ,；集合 N 是不等式的解集 1 ,；而集合 M的元素是平面上的点，此集合是函数yx 21图象上所有点组成的集合应选D(2) 理解 M N 属于 M但不属于 N 的元素组成的，所以 B A 的元素应属于 B，但不属于 A，所以答案为C点评 解集合问题时，对集合元素的准
9、确识别十分重要，不允许有丰点差错，否则将导致解题的失败明确集合中元素的本身属性是解决集合问题的钥匙例2已知A a2,a0 2 ,a233，若 1 A，求实数 a 的值a分析： 1 A则 a 2，a12a23a 31，都可能为，则需分类讨论解决，且必须验证。解：若 a + 2 = 1，则 a = 1，此时 A = 1 ，0， 1 与集合中元素的互异性矛盾，（舍去）若2a 1 1，则 a=0 或 a = - 2.当 a=0 时， A=2 ， 1， 3 ，满足题意；当 a= 2 时， A=0， 1， 1 与集合中元素的互异性矛盾，( 舍去 ) 若 a 23a3 1，则 a 1 或 a 2 ( 舍去
10、) 综上所述 a = 0 点评 本例考查了集合中元素的互异性和分类讨论的思想，在解决集合的元素问题时，互异性至关重要题型 2：集合中元素的性质集合中元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，其中互异性考查最多，而且考查具有第3页共 5页隐蔽性例 3设集合 Ax y, xy, xy ,Bx 2y 2 , x2y 2 ,0 ，且 A=B，求实数 x 和 y 的值及集合 A,B.分析因为集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，解此题时应注意集合的元素满足这三个性质由已知条件A=B，可知 0A，然后由此讨论求解解： A B， 0 B， 0 A若 x y 0或 x y 0则 x2y 20 ，这样集合B
11、中有重复元素，根据集合元素，与互异性相抵触，故xy 0 ，x y 0xy0xy 0 x y x 2y 2 或 x y x2y 2x y x 2y 2x y x 2y 2由得x 0x 0x 1；由得x 0x 0x 1或或或1或y 0y 1y 0y 0yy 0 当 x=0， y=0 时， x y=0，故舍去当 x=1， y=0 时， x y=x y=1，故也舍去x0x0或 A=B=0， 1， 1 y1y1点评两个集合相等则它们的对应元素相等。如果是数集，则它们元素的和与积也相等题型 3：子集的问题此类题以集合为背景， 求子集的个数、 集合中元素个数等， 常用的解法是： 子集个数公式；图示法等例 4
12、(1)已知集合A 满足 1 ，2A1 ，2，3，4，5 ，则所有满足条件的集合A 的个数 _(2) 已知集合M满足 2 ， 5M1 ， 2， 3， 4， 5则不同的M的个数是 _(3) 设 A1 ，2，3，4， 5，6， 7 ；当 aA 时，必有 8aA ，则同时满足条件，的非空集合A 的个数为 _。解析(1)A中必须含有1， 2 两个元素，也可以含有3， 4， 5 中的全部或部分元素，满足条件的 A 有1 ，2 ，1 ，2，3 ， 1 ，2， 4 ，1 ，2，5 ，1 ，2，3，4 ，1 ，2，3，5 ，1 ， 2，4， 5 ， 1 ， 2， 3，4， 5(2) 记 A=1 ，2,B=1 ，
13、2，3，4，5,B / =1,3,4,则 A B/ = ,A B/ =B, 满足条件AMB的每一个集合M，对应着的一个真子集所以符合题意的集合M的个数等于集合的真子集的个数而的真子集共有23 7 个个所以，满足AMB 的集合 M共有 7 个(3) 将元素配对： (1 ，7) ，(2 ，6) ，(3 ，5) ，(4) ，以这些元素对为元素，共有非空子集24115个点评 ：一般地含有n 个元素的集合，有2 n 个子集， 2 n 1 个真子集， 2 n 1 个非空子集，2 n 2第4页共 5页个非空真子集例 5已知集合Ax ax23x20, aR(1) 若 A 是空集，求 a 的取值范围(2) 若
14、A 中只有一个元素，求 a 的值并把这个元素写出来(3) 若 A 中至多有一个元素，求a 的范围分析讨论方程 ax 23x20实数根的情况，从中确定a 的取值范围，由题意，方程ax 23x20 有一个实根、两个相等实根或无实根解 (1)若 A 为空集，则方程 ax23x20 无实数解，9 8a 0 ， a9298(2) 当 a=0 时， x，符合题意；当a 0时，98a30 ， a92 或 48所求实数 a=0 或 a时， A 中只有一个元素，为833(3) 综合 (1)(2) 得，若 A 至多有一个元素，则9a=0 或 a8点评“a=0”这种情况容易被忽视，对于方程ax 23x20 有两种情
15、况，一是a=0，它是一元一次方程；二是a0，它是一元二次方程，只有在这种情况下，才存在判别式题型 4：应用性问题例为配合教育形式，某地一学校组织高一学生对本地农户进行抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49，电视机拥有率为85，洗衣机拥有率为44，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63，三种电器齐全的为25，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为()A 10B 12C 15D 27分析这是一个小型应用题把各种人群看作集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助文氏图解法解不妨设调查了100 户农户，U=被调查的100 户农户 ，A=100 户中拥有电冰箱的农户 ，B=100 户中拥有电视机的农户 ， C=100 户中拥有洗衣机的农户 ，由右图知。 A B C的元素个数为 49+85+44 63 25 90C10090 10故选 Au（ A B C）的元素个数为三、本节所涉及的数学思想规律方法1、要掌握数集与点集，解题中灵活运用2、掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性，它是正确解决有关集合问题的重要一环3、若集合中含有n 个元素，则它的子集有个，真子集有个；讨论子集不要忽略空集4、对于已知某两集合间的关系，求其满足的条件，应将集合化简并转化为方程或不等式的问题求解四、作业：威州中学数学课时作业。五、课后记：第5页共 5页