矩阵的秩及其应用.doc

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1、. 精品 山西师范大学本科毕业论文山西师范大学本科毕业论文( (设计设计) ) 矩阵的秩及其应用矩阵的秩及其应用 姓姓 名名 杨敏娜杨敏娜 院院 系系 数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 班班 级级 1151010211510102 学学 号号 11510102401151010240 指导教师指导教师 王栋王栋 答辩日期答辩日期 成成 绩绩 . 精品 矩阵的秩及其应用 内容摘要内容摘要 矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重 要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的 基础解系，求

2、解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。 论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重 要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。 第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在 与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其 他与向量组有关的向量空间的应用。 本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例 中。 【关键词】矩阵的秩向量组 线性方程组 特征值解析几何 . 精品 TheThe RankRank ofof MatrixMatrix and

3、and thethe ApplicationApplication ofof thethe RankRank ofof MatrixMatrix AbstractAbstract The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group.

4、And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations. First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theor

5、ems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the

6、 rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space. This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples. 【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry . 精品 目

7、录 一、引言(01) 二、矩阵的秩（01） (一)矩阵的秩的定义(01) (二)矩阵的秩的一般性质及求法(01) （三）求抽象矩阵的秩(02) 三、矩阵的秩的应用(03) (一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用(03) (二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用(04) (三)矩阵的秩在解析几何方面的应用(07) (四)矩阵的秩在特征值方面的应用(07) (五)矩阵的秩在其他方面的应用(08) 四、小结(09) 参考文献(10) 致谢(11) . 精品 . 精品 矩阵的秩及其应用 学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋 一、引言 矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵

8、的秩 作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。通过对矩阵的秩的探讨，能更好地 理解矩阵的有关概念，同时对判别向量组之间的线性相关性，求齐次线性方程组和 非齐次线性方程组的基础解系有一定意义。分析矩阵的秩在线性空间方面的应用， 能准确快速地判断空间中直线的位置关系。另外，在求解一些复杂行列式的值的过 程中，将行列式问题转换成矩阵问题，大大简化了计算过程。 深刻地理解矩阵的秩将对今后线性代数方面的学习有很大的帮助。 二、矩阵的秩 (一)矩阵的秩的定义 介绍矩阵的秩，首先应该了解矩阵的阶子式，借助阶子式的定义，进一步来kk 了解矩阵秩的概念。下面对阶子式进行简单介绍：k 1.级子式1: k 在一个

9、阶行列式中任意选取行和列（） 。位于这些行和列的交点nDkkkn 上的个元素依照原来的序次构成一个阶行列式，称为行列式的一个阶 2 kkMDk 子式。 例如 : 矩阵 A 的第一、三行，第二、三列相交处的元素所构成的 1 183 395 12104 A 二阶子式为。当然，矩阵的 k 阶子式并不是唯一的。 1 83 104 D 显然,矩阵 A 共有个阶子式。m n kk mnC C k 2. 矩阵的秩1 : 设有 阶子式不为 0，任何阶子式(如果存在的话)全为 0 , 称 ij m n A a r1r 为矩阵的秩，记作或秩。rA( )R AA 矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，同理，矩阵的列秩就

10、是矩阵的列向量组 的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以一般就统称为矩阵的秩。 (二)矩阵的秩的一般性质及求法 1.矩阵的秩的一些简单性质 我们通常规定零矩阵的秩即为 0。 (1).如，则中最少有一个 阶子式，其余阶子式全部为 0， R ArAr0 r D 1r 且更高阶子式为 0,此中 是中非零的子式的最高阶数。rA . 精品 (2).初等矩阵均满秩，任何矩阵乘满秩方阵，秩均不变的。 (3).矩阵的行列式为零的充分必要条件是，矩阵的秩小于。n nAn (4).由行列式的性质知，。 T R AR A (5).。 ,0min,R Am R AnR Am n (6).如果，且，则。反之，如，则 n

11、n A 0A R An( )R An0A 所以有，方阵可逆的充分必要条件是。此时称矩阵是满秩的。 A R AnA (7).可逆时，；可逆时，。A()( )R ABR BB()( )R ABR A 2.具体矩阵的秩的求法 (1).根据矩阵的秩的定义,求矩阵的非零阶子式的最高的阶数,即为矩阵的秩。 (2).应用等价矩阵有相同秩的结论,利用矩阵的初等变换，先将一般矩阵简化成阶 梯形，那么矩阵的秩即为阶梯矩阵中非零的行数，在初等变换中，可以只进行初等 行变换，也可以初等行变换或初等列变换混用来对它进行化简。 例一：对如下的矩阵求它的秩 012 114 210 A 求法一：由于，而 A 的最高阶数是三阶

12、，所以 012 11420 210 A 。 3R A 求法二：对它进行初等变换以后, 1 012114 114012 210002 A 最后的阶梯矩阵中，非零行数为 3，所以该矩阵秩为 3,即。 3R A 注：以上的两种求矩阵秩的方法中，两者各有千秋，运用初等变换的方法求矩 阵的秩，一般适用于超过三阶的矩阵，比较快速方便。因为对于高阶子式来说，其 级子式的个数较多，计算比较冗长且难度较大。而对于低阶的矩阵，求级子式kk 更直接易理解。 （三）（三） 、求抽象矩阵的秩 遇到抽象矩阵求秩，用上面的两种方法是不能解决问题的，所以，求抽象矩阵 的秩，除了以上介绍矩阵的秩的相关性质外，还需补充一些有关矩

13、阵的秩的有关结 果。 结论一：设是秩为 的矩阵，则可以表示成 个秩是 1 的矩阵的和。Arm nAr 例二 : 证明。 0 ( )( ) 0 A rr Ar B B 证明设,那么肯定有可逆的矩阵与可逆的矩阵，使得( ), ( )R Ar R Bs 11 ,P Q 22 ,P Q 1112 1211122212 00 0000 rs EE PABQPAQQ P P BQQ P . 精品 化简为等价标准形,故一定有可逆矩阵，使成立,A B 11 22 00 , 00 PQ PQ ，因为左乘及右乘 1111 2222 000 00000000 0000000 0000 r r E PQPAQA PQ

14、P BQBE 和原来矩阵的秩仍然相等，最终有 。 000 00000 ( )( ) 0000 0000 r r E A rrrsr Ar B BE 结论二：设是阶方阵（） ，则有An2n 当，时，( )R An * ()R An 当时，( )1R An * ()1R A 当时，( )1R An * ()0R A 例题三：已知是 3 阶非奇异矩阵,那么?A * * () )rA 解:从结论二得,又从题知为 3 阶不可逆矩阵,所以,所 * * * * 3, ()3 () )1, ()2 0, ()2 r A rAr A r A A( )2r A 以或 0,故 * ()1r A * * () )0r

15、A 结论三3：为阶方阵且时，。,A Bn0AB ( )( )r Ar Bn 例四：已知，为 3 阶非零矩阵,且还有成立,则 ( ) 123 24 4812 Qt P0PQ A. 时,的秩必为 1 B. 时，的秩必为 26t P6t P C. 时,的秩必为 1 D. 时, 的秩必为 26t P6t P 解：因为，所以秩，又由题知道，所以。当0P ( )1r P 0PQ ( )( )3r Pr Q 时，故可以得，当时，又可以得6t ( )1,r Q 1( )2r P6t ( )2r Q ，即肯定有。1( )321r P( )1r P 结论四3：为阶方阵且时，。,A Bn0AB ( )( )r Ar

16、 Bn 例五：设为阶方矩阵，另有，其中是阶的单位矩阵，试证An 2 2AAEEn 。此中的表示矩阵的秩。()()r AEr AEn( )r AA 解：由题中已知可知，进而可以得到 2 2AAE()(2 )0AEAE ，又因为()()r AEr AEn ，所以最后可以得到()(2 )()(2 )( 3 )r AEr AEr AEAErEn 。()()r AEr AEn . 精品 三、矩阵的秩的应用 (一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组 转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的 。那

17、么我们首先从向量组之间的关系着手。 1.向量组间的关系 (1).定义4：若向量组中每个向量都可以由向量组线性表示，则称向量组组能ABA 由向量组线性表出。两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。B 向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。 (2).有关定理 4若向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则知秩秩 B；A 4等价的向量组必等秩,但是其逆不真； 4矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩 阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。 4一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。 2.判定

18、向量组是否线性相关 利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有个维向量的向量mn 组。 令，当，此向量组是线性无关的，当 12, (,) m A ( )R Am 1,2, , m ，此向量组是线性相关的。( )R Am 例六:设。 123 (1,1,1) ,(1,2,3) ,(1,3, ) TTT t （1）问 t 的值取多少时，该向量组线性相关？ （2）问 t 的值取多少时，该向量组线性无关？ 解: 1,2,3 111111 ()123012 13021 A tt 从最后一个矩阵可知： （1）t5 时，,向量组线性无关；( )3R A （2）t=5 时，,向量组线性相关。( )2R

19、 A 3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性 利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形 式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。通常用于证明具有两对向 量的向量组。 例七: 设向量组是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证： 123 , 也是线性无关的。 122331 , 证明 令 112223331 , . 精品 则 123123 101 (,)(,) 110 011 因矩阵 可逆，故 101 110 011 123123 (,)(,)3RR 所以即线性无关。 123 , 122331 , （二） 、矩阵的秩在线性方程组方面的应用 1.矩阵的秩和非齐次线性

20、方程组 矩阵的秩在判断线性方程组解情况中，有很重要作用，能够快速确定方程组解 的个数。接下来我们从定理的证明入手，来探究矩阵的秩与线性方程组之间的关系 。 定理4 ：对于非齐次线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn rrrnnr a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 此方程组有解的充分必要条件即为方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。 例八: 分析以下方程组，探究分别取什么值时，方程组的解是什么样子? 123 123 123 0 2 2 xxx xxx xxx 解: 其系数矩阵 11 11 11 A 增广矩阵 110 112 11

21、2 B 若要方程组有解则需.rankArankB 22 111111 11011011 11011002 A 22 110112112 11201140114 112011200224 B 由此可以看出 . 精品 当时 方程组无解。1( )1R A ( )3R B 当时 方程组含无穷多个解。2 ( )( )2R AR B 当,且时 方程组有唯一解。12 ( )( )3R AR B 总结： 对于非齐次线性方程组，我们设 A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵。 当且时，方程组有唯一的解。0A ( )( )R AR B 当，方程组有无穷多个解。0A 当时，方程组无解。( )( )R AR B 由上可以

22、看出，矩阵的秩和线性方程组的解之间是紧密的相连的，从矩阵的秩 入手，不仅可以简单判断出非齐次线性方程组是否有解，而且可以判断出齐次线性 方程组解的情况。 2.矩阵的秩与齐次线性方程组 定理 21 :对于齐次线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn rrrnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 在齐次线性方程组有非零解时，它有基础解系，并且基础解系所含有解的个数等于 ，这里 r 表示系数矩阵的秩。nr 例九 （1） 123 123 123 0 0 0 xxx xxx xxx 解: 方程组的系数矩阵为，A 11 11 11 A 计

23、算系数矩阵的行列式, 2 11 11(1) (2) 11 A 时，10A 方程组有非零解， 1 1 1111 1 1 1000 1 1 1000 A 时， 2 211101 121011 112000 A . 精品 综上可得，当时，,此时方程组有两个非零解。1( )1R A 此时方程组可化简为 （2） 123 0 xxx 方程组(1)与(2)同解，且为 和 13 2 33 0 xx x xx 12 22 3 0 xx xx x 由于两个向量组线性无关，故为方程组的基础解系，令表 12 11 0,1 10 X 示方程组的通解。 因此，方程组的通解为 其中 1122, Xkk.kR 当时，2,此时

24、方程组有一个非零的解2 ( )R A 方程组化简为 （3） 13 23 0 0 xx xx 方程组(1)与方程组(3)同解 13 23 33 xx xx xx 由于线性无关，故而可以作为方程组的一个基础解系， 1 1 1 所以，此方程组的通解为 其中,Xk.kR 当且时，,此时方程组只有零解。12 0A (三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 通过以上对矩阵秩的相关定理和结论的证明，我们还将矩阵的秩推广到解析 几何中，来判断空间几何中两条直线的位置关系。主要用直线的方程构造方程组， 运用上面介绍矩和方程组的关系，分析方程组系数矩阵与它的增广矩阵的秩的情况 ，就能够确定方程组的解的情况，进而判断空间

25、中两条直线的位置关系，下面详细 阐述有关解法。 给定以下两条直线的方程 ； 1111 1 2222 0 : 0 a xb yc zd L a xb yc zd ； 3333 2 4444 0 : 0 a xb yc zd L a xb yc zd 那么这两条直线之间的位置关系取决于方程组 . 精品 1111 2222 3333 4444 0 0 0 0 a xb yc zd a xb yc zd a xb yc zd a xb yc zd 解的情况，那么由上面结果我们可以知道，此方程组解的情况又由其系数矩阵的秩 与其增广矩阵的秩决定。 各个方程都表示着一个平面，那么线性方程组则表示这两个平面的

26、交线。 因此有2( )3,2( )4R AR B 分别表示该方程组的系数矩阵和它的增广矩阵。,A B 当时，那么该方程组有解，即说明两条直线存在交点。( )( )R AR B 特别地，若，此方程组的解是无穷多的，即代表两直线完全一( )( )2R AR B 样。 当时,此时方程组的解仅有一个，代表两条直线相交。( )( )3R AR B 当此时方程组无解，那么两条直线没有交点。在空间几何里，这两条( )( )R AR B 直线为平行或者异面。 (四)矩阵的秩在特征值方面的应用 矩阵的秩与特征值之间的关系讨论中，着重研究特殊情况，即当矩阵的秩为 1 的时候时，特征值得取值如何。 引理1：设是 3

27、 阶矩阵，那么它的特征多项式为() ij Aa ，其中 32 112233 ()EAaaasA ，特别地，若秩，那么特 111322231112 313332332122 aaaaaa s aaaaaa ( )1R A 征多项式为 ，则矩阵 A 的特征值是 322 ()() iiii EAaa 3 3 12 1 ,0 ii i a 例十:根据矩阵的秩求下列行列式的值。 xzzzz zxzzz zzxzz zzzxz zzzzx 解 . 精品 0000 0000 0000 0000 0000 xzzzzzzzzzxz zxzzzzzzzzxz zzxzzzzzzzxz zzzxzzzzzzxz

28、zzzzxzzzzzxz (1) (2) 从上易直观看出，矩阵(1)的秩是 1,因此其特征值是。 123 , n nz 矩阵(2)的秩为 n,因此其特征值为。 12n xz 所以，原矩阵的特征值为。 12 , n nzxzxz 综上可得 xzzzz zxzzz zzxzz zzzxz zzzzx 1 12 ()()n n nzxz xz (五)矩阵的秩在其他方面的应用 1.矩阵的秩在多项式方面的应用 矩阵的秩在多项式中的应用,主要体现在互素的多项式中，通过运用多项式互素 的有关性质，确定多项式秩之间的数量关系来解题。 (1).是多项式，且次数均大于 1,若互素，且，( ), ( )f x g

29、x( ), ( )f x g x( ) ( )0f x g x 则。( ( )( ( )R f AR g An (2).设,，若互素,且( ) ,1,2,3 i f xP x im( ) n AMP 12 ,., m fxfxfx , 则。 12 .0 m fA fAfA 12 .1 m nr fAr fAr fAmn (3).设,，若两 ( ) ,1,2,3 i f xP x im( ) n AMP 12 ,., m fxfxfx 两互素，则( )( )0 ii f A f A , ,1,2,ij i jm 。 12 . m R fAR fAR fAn 2.矩阵的秩判定二次型正定问题 设二次

30、型,其中,可以有以下结论: 1,2 (,) T n f x xxx Ax T AA (1).的正惯性指数与秩都等于 n正定。( )f x (2).的负惯性指数与秩都等于 n正定。( )f x (3).的正惯性指数与秩相等半正定。( )f x 例十一：设是阶半正定矩阵，为阶正定矩阵，证明，等号成立AnBnABB 当并且只当。0A . 精品 证：由题目知正定，半正定，正定，由矩阵的正定的结论知AB()ABBB 。ABB 当时，,0A ABB 当时，秩，正定，0A 1AB 所以必有实可逆矩阵，有P P BPE ()P AB PP APECE 其中，所以秩 CP AP1C 设个特征值为，而秩，由半正定

31、，因此最少有个，不妨Cn 1, , n 1C C0 i 设。那么的个特征值为， 1 0CEn 1 1,1 n 故有 2 1 (1)(1) n CEPAB 所以，故，即证得。 2 1 AB P 2 1 B P ABB 3用矩阵的秩解决线性空间问题 在维线性空间里，个线性无关的向量称为空间一组基，设为任nn 12 , n 一向量，那么=，其中系数是唯一的，这组数即为在一组 1 122nn aaa 基下的坐标，可以看出线性空间的维数和它的一组基中含有的向量是相等的。这样 就把解决维数问题简化成分析向量的个数问题，就是来分析向量组的秩。 四、小结 矩阵的秩是线性代数重要组成部分，其教学方法一直被广泛探

32、讨，本文基于一 些研究和具体的例子，以及自身的学习实践，探究以知识点为基础的应用。同时给 出了一些具体求法与分析过程，要求熟练掌握矩阵的性质与秩的概念，灵活推广一 些结论，并能充分利用它解决相关问题。 矩阵的秩在代数中的应用十分广泛，除了以上介绍的以外，在矩阵的逆以及伴 随矩阵的计算中也占据重要地位。另外，矩阵在一些物理，化学，经济学，控制论 等等学科研究中也分布较多，是学科研究的一个重要分支。在这个快速发展的社会 ，数学与生活关系逐渐密切，本文所介绍只是矩阵的秩在数学和生活中的一部分应 用。矩阵的秩作为代数的重要部分，它的引入为解决某些数学问题提供新的探索途 径和秘诀，在一些实际运用中大大简

33、便了运算过程和步骤，为我们的学习和应用带 来极大好处和便捷，关于矩阵的秩的其他方面的知识还需要大家继续探索。 参考文献：参考文献： 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ . 精品 1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编 王萼芳,石生明 修订 高等代数-3 版. M 北京:高等教育出版社，2003，9。 2 黄光谷,黄东,李杨,蔡晓英 编 高等代数辅导与习题解答M华中科技大学出版社， 2005，3。 3 周泰文,王家宝,贺伟奇 编 线性代数全程导学 湖南科学技术出版社 ，2002，11。 4 陈志杰 编 高等代数与解析几何(上册) M 北京：高等教育出版社，2008.12。 5 冯锡刚 编 解析几何中矩阵秩的应用J 教学管理与研究社， 6 邹晓光 编 互素多项式与矩阵的秩的一个简单结论及其应用J 金华职业技术学院学报， 2006 年第 6 卷第 1 期。