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1、课时考点12圆锥曲线与平面向量考纲透析考试大纲： 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.圆锥曲线与平面向量的综合 .新题型分类例析热点题型1：直线与圆锥曲线的位置关系（ 05 重庆 ?文 21）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（ 2， 0），右顶点为 ( 3,0)（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）若直线 l : ykx2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点A 和 B ，且 OAOB2（其中 O 为原点） . 求 k 的取值范围 .解：（）设双曲线方程为x 2y 21(a0,b0).a 2b 2由已知得 a3, c2,
2、再由 a 2b222 ,得 b21.故双曲线 C 的方程为 x2y 21.3（）将 ykx2代入 x2y 21得 (1 3k 2 )x 262kx9 0.3由直线 l与双曲线交于不同的两点得13k 20,(62k) 236(13k 2 )36(1k 2 )0.即 k 21 且 k 21. 设 A( xA , y A ), B( xB , yB ) ，则3xAxB6 2k2 , xA xB192 ,由OA OB 2得 xA xByA yB2,13k3k而 x A xBy A y Bx A x B (kx A2 )(kx B2) (k 21) x A x B2k ( x AxB ) 2(k 21)
3、92k 6 2k23k 27 .13k 213k 23k 21于是 3k 272,即3k290,解此不等式得3k 213k 211k 23.3第 1页共 5页由、得1k 21.3故 k 的取 范 ( 1,3)(3 ,1).33 式新 型 1：解：（ I）由已知，m 0， x2 y 2 ， 22 y2 ， x2n x， 02， 2x2，2 4 分m n，2y 22x2 x20 5 分x 2y 21即所求曲 的方程 2 7 分x 2y2121 2k 2x24kx0（ II ）由 ykx1 消去 y 得：x10， x24k（ x1，x212k 2分 点 M ， N 的横坐 ） 10分解得：MN1 k
4、 2 x1x21 k 214k4 2由2k 23解得： k1 12分所以直 l 的方程 xy10 或 xy10 14 分（ 05 湖南理 19）已知 C： x2 y21（ a b 0）的左右焦点 F12直 a 2b2、 F ，离心率 e.l ：y ex a 与 x y 分 交于点A 、B， M 是直 l 与 C 的一个公共点， P 是点 F1关于直 l 的 称点， AM AB .（） 明：1 e2；（）确定的 ，使得PF1F2 是等腰三角形 .（） 法一：因 A 、B 分 是直 l ： yexa 与 x 、 y 的交点，所以A 、B 的坐yexa,xc, 分 是 (a ,0), (0, a).
5、由 x 2y2得b 2 这里 ca 2b2.ea 2b 21,y.c第 2页共 5页所以点 M 的坐标是（c, b2） .由 AMAB得 (ca , b2)( a , a).ae aeacaeee2即解得1b2aa证法二：因为A 、B 分别是直线 l： yexa 与 x 轴、 y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是 (a ,0),( 0, a). 设 M 的坐标是 ( x0 , y0 ),uuuureuuura , y0 )( a , a),由 AMAB得 ( x0ee所以x0a (1)ey0a.因为点 M 在椭圆上，所以x02y021,a2b 2 a (1) 2(a)21, 所以 (1)2
6、2即 ea 211.b 2e2e2e42(1)e2(1) 20,解得 e21即1e2 .（）解法一：因为PF l ，所以 PF F =90 + BAF1为钝角，要使 PF F为等腰三11212角形，必有 |PF1|=|F1F2|，即1 | PF1 | c.2设点 F1 到 l 的距离为 d，由 1 | PF1 | d| e( c) 0 a | | a ec |c,21e21e2得1e2e.1e2所以 e21 , 于是1 e22 .33即当2 时, PF1 2为等腰三角形 .3F解法二：因为 PF1 l ，所以 PF1F2=90 +BAF 1 为钝角，要使 PF1F2 为等腰三角形，必有 |PF
7、1|=|F1 F2|，设点 P 的坐标是 (x0 , y0 ) ，第 3页共 5页y001x0e23x0cee2c,则， 解得1y00e x0c2(1 e2 )aa.y0.2122e由 |PF1 |=|F1F2|得 (e23)cc 2 2(1e2 )a 24c2 ,e21e21两边同时除以4a2，化简得 (e21) 2e2 .e21从而 e21 .3于是11e223即当212时， PF F 为等腰三角形3 变式新题型 2设 x, yR ， i 、 j 为 直 角 坐 标 平 面 内 x 轴 、 y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 ， 若a xi( y3) j , bxi( y3) j
8、，且 ab4 .（）求点 P( x, y) 的轨迹C 的方程；（）若 A 、B 为轨迹 C 上的两点，满足AMMB ，其中 M（ 0，3 ），求线段 AB 的长 . 启思 热点题型2：向量的坐标运算与韦达定理（ 05 全国 ?理 21）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、 B 两点， OAOB 与 a(3,1)共线（）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点，且OMOAOB ( ,R) ，证明22为定值解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分 12 分（ 1）
9、解：设椭圆方程为x 2y2b0), F (c,0)a 2b 21(a则直线 AB 的方程为 yxc ，代入 x 2y 2 1，化简得a 2b 2(a 2b 2 )x 22a2 cx a 2 c2a 2b20 .第 4页共 5页令 A（ x , y）， B ( x2, y），则 xx22a2 c, x x2a 2c 2a 2b 2.1121a2b21a 2b 2由 OAOB(x1x2 , y1y2 ), a(3, 1), OAOB 与 a 共线，得3( y1y2 ) (x1x2 ) 0, 又 y1x1c, y2x2c ，3( x1x22c)( x1x2 )0,x1x23 c.即 2a 2 c23
10、c ，所以 a 23b2 .ca 2b26a ，a2b 223故离心率 ec6 .a3（ II ）证明：（1）知a23b2x2y 21可化为x23y23 2 .，所以椭圆a 2b 2b设OM ( x, y)，由已知得 ( ,)(x1,y1)(x2,y2),x yxx1x2 ,M (x, y) 在椭圆上，(x1x2 ) 23(y1y2 ) 23b 2 .yx1x2 .即2 (232 )2 (23y2 ) 2(x1 x23y1 y2) 32 .x1y1x22b由（ 1）知 x1x23c , a23 c2 ,b 21 c 2 .222 变式新题型 3抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线 l 与 x 轴相交于点 A( 1， 0)，过点 A 的直线与抛物线相交于P、Q 两点 .（ 1）求抛物线的方程；（ 2）若 FP ? FQ =0，求直线 PQ 的方程；（3）设 AP = AQ （ 1），点 P 关于 x 轴的对称点为M ，证明：FM =-FQ . 启思 第 5页共 5页