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1、今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室测试 14导数的应用一、选择题1如果函数 y x3 x2 x a 的极小值为1，则 a 等于()(A)4(B)3(C)2(D)12函数 f(x) x3 ax在区间 ( 1，1)内单调递减， 在 (1， )内单调递增， 则 a 等于()(A)3(B) 3(C)1(D) 13函数 f(x)x ex 的最小值是()1 1(A)e(B) e(C)e(D) e4若 f(x)1 x2 bln( x2)在 ( 1， )上是减函数，则b 的取值范围是()2(A) 1， )(B)( 1， )(C)( ， 1(D)( ， 1)5设 a R，若函数f(x) eax 3x，x
2、R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是()11(A) a(B) a33(C) a 3(D) a 3二、填空题6函数 f(x)3x3 4x 的单调递减区间为 _7若函数 f(x) x3 bx2 cx 2 在 x 1 时有极值 6，则 b _； c_8已知函数 f( x) x3 12x 8 在 3， 3上的最大值与最小值分别为M， m，那么 M m_9函数 y2x2 ln x 的减区间是 _10设 a 1，函数 f(x) 3ax ，若 f( x)在区间 (0， 1上是减函数，则实数a 的取值范围a1是 _三、解答题11已知函数f(x) x3 3x2 9x a，求 f( x)的单调区间12已知函数
3、f(x) ax3 bx2 cx 在点 x0 处取得极大值5，其导函数y f (x)的图象经过点(1，0)， (2， 0)，如图所示求：(1)x0 的值；(2) a， b， c 的值今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室13已知函数f ( x)1 ax3 bx2 cx d 在 x x1 处取得极大值，在 x x2 处取得极小值，3且 x1 x2，证明： a 014设 k 0，函数 f(x) ex kx， x R(1)若 k e，求 f(x)的单调区间；(2)若对任意x R ，f(x) 0 恒成立，求实数k 的取值范围参考答案测试 14导数的应用一、选择题1 C2 B3 D4 C5 C提示：x3
4、 f (x)(1+ x) e ，由 f (x) 0，得 x 1；由 f (x) 0，得 x 1，所以函数 f(x)在 (， 1)内递减，在 ( 1， )内递增，所以 f(x)的最小值是 f (1)e 1bx22xb4 f ( x)xx2，.x 2由 x1，得 x2 1 0因为 f(x)在( 1， )内递减，所以当 x 1 时， f (x) 0 恒成立，2即当 x 1 时，不等式 x 2x b 0 恒成立2因为函数g(x) x 2xb 在 ( 1， )内递减，所以 g( 1)0，解得 b 1ax，5 f (x)ae 3若函数 f(x) aeax 3x，x R 有大于零的极值点，则方程f (x)0
5、 有正根即方程 aeax 30 有正数解，由 eax3，得 a 0，a此时 x1 ln3 ，令 x0，得 ln30 ，aaa解得 a 3二、填空题今天比昨天好这就是希望62 , 27 6；98 329 0, 1332提示：高中数学小柯工作室10(， 0) (1， 3aa10 f ( x)，2(a 1) 3 ax2(1 a) 3 ax由 f(x) 在区间 (0， 1 上是减函数，a得 x (0，1 时，不等式0 恒成立2(1a)3ax当 a 0 时，上述不等式成立；当 a 0 时， f(x)3 ，不符合题意；当 0 a 1 时，上述不等式不成立；当 a 1 时，由3 ax 0，得 a 3，因为
6、x(0， 1 ，所以 a 3，即 1a 3 时上x述不等式成立；33x当 a 3 时， f ( x)2，符合题意，综上，实数a 的取值范围是 (， 0) (1， 3 三、解答题11解： f (x) 3x2 6x9 3(x 1)(x 3)令 f (x) 0，即 3(x 1)(x 3) 0，则 x 1 或 x 3 f(x)的单调增区间是 (， 1)， (3， )令 f (x) 0，即 3(x 1)(x 3) 0，则 1 x 3 f(x)的单调减区间是( 1， 3)12解： (1)由图象知， 在 (， 1)上 f (x) 0，在 (1，2)上 f (x) 0，在 (2， )上 f (x) 0，故 f
7、(x) 在(， 1)， (2， )上递增，在 (1， 2)上递减因此 f(x)在 x 1 处取得极大值，所以x0 1(2) f (x)3ax2 2bx c由 f (1) 0， f (2) 0， f(1) 5，得解得 a 2， b 9， c 123a2bc0,12a4bc0,abc5.13证明：函数f(x)的导数 f (x) ax2 2bx c由函数 f(x)在 x x1 处取得极大值，在xx2 处取得极小值，知 x1， x2 是 f (x) 0 的两个根，所以f (x) a(x x1)( x x2)当 x x1 时， f(x)为增函数，故有f (x) 0，由 x x1 0，x1 x2，得 x
8、x2 0由 f (x) 0，得 a 014解： (1)由已知 f(x) ex ex，则 f (x)ex e令 f (x) 0，得 x 1，所以 f(x)在区间 (1， )内是增函数；今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室令 f (x) 0，则 x 1，所以 f(x)在区间 (， 1)内是减函数(2)对 f(x)求导数，得f (x) ex k，令 f (x) 0，得 x lnk；令 f (x)0，得 x lnk可知 f(x)在区间 (， lnk) 内是减函数，在区间 (lnk， ) 内是增函数，所以 f(x)在 x lnk 时取得最小值 f(lnk) k klnk，若对于任意x R， f(x) 0 恒成立，只需 kkln k 0，解得 0 k e，即实数 k 的取值范围是(0， e)