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1、 题 ： 10 3 组合(一 )教学目的：1 理解 合的意 ，掌握 合数的 算公式；2. 能正确 合与排列的 系与区 教学重点： 合的概念和 合数公式教学 点： 合的概念和 合数公式授 型： 新授 安排： 1 课时教 具：多媒体、 物投影 内容分析 ：排列与 合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一 ，并求有多少种不同方法的 . 排列与 合的区 在于 是否与 序有关. 与 序有关的是排列 ，与 序无关是 合 ， 序 排列、 合 的求解特 重要 . 排列与 合的区 ， 从定 上来 是 的，但在具体求解 程中学生往往感到困惑，分不清到底与 序有无关系.指 学生根据生活 和 的内涵 悟
2、其中体 出来的 序. 教的秘 在于度，学的真 在于悟，只有学生真正理解了，才能 一反三、融会 通.能列 出某种方法 ， 学生通 交 元素位置的 法加以 .学生易于辨 合、 全排列 ， 而排列 就是先 合后全排列. 在求解排列、 合 ，可引 学生找出两定 的关系后，按以下两步思考：首先要考 如何 出符合 意要求的元素来， 出元素后再去考 是否要 元素 行排 ，即第一步 从 合的角度考 ，第二步 考 元素是否需全排列，如果不需要，是 合 ；否 是排列 .排列、 合 大都来源于同学 生活和学 中所熟悉的情景，解 思路通常是依据具体做事的 程，用数学的原理和 言加以表述. 也可以 解排列、 合 就是从
3、生活 、知 、具体情景的出 ，正确 会 的 ，抽象出“按部就班”的 理 的 程. 据笔者 察， 有些同学之所以学 中感到抽象，不知如何思考，并不是因 数学知 跟不上，而是因 平 做事、考 就缺乏条理性，或解 思路是自己主 想象的做法（很可能是有悖于常理或常 的做法） . 要解决 个 ， 需要 生一道在分析 要根据 情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模 做事的 程， 更能 明 . 久而久之，学生的 思 能力将会大大提高.教学 程 ：一、复 引入：11 分 数原理： 做一件事情，完成它可以有n 法，在第一 法中有 m1 种不同的方法，在第二 法中有m2 种不同的方法，在第n 类第1页共
4、6页 法中有 mn 种不同的方法那么完成 件事共有Nm1 m2Lmn 种不同的方法2. 分步 数原理： 做一件事情，完成它需要分成n 个步 ，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成 件事有N m1 m2 Lmn种不同的方法3排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （ mn ）个元素（ 里的被取元素各不相同）按照一定的 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列4排列数的定 ： 从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的 排列数 ，用符号 Anm 表示5排列
5、数公式： Anmn( n1)(n 2)L ( nm1) （ m, nN, m n ）62 乘：n!表示正整数 1 到 n 的 乘 ，叫做n 的 乘 定0!17排列数的另一个 算公式：Anm =n!( nm)!8. 提出 ：示例 1：从甲、乙、丙3 名同学中 出2 名去参加某天的一 活 ，其中1名同学参加上午的活 ， 1 名同学参加下午的活 ，有多少种不同的 法？示例 2：从甲、乙、丙3 名同学中 出2 名去参加一 活 ，有多少种不同的 法？引 察：示例1 中不但要求 出2 名同学，而且 要按照一定的 序“排列”，而示例2 只要求 出2 名同学，是与 序无关的引出 ： 合二、 解新 ：12 合的
6、概念： 一般地，从n 个不同元素中取出m m n 个元素并成一 ，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个 合 明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同 合：元素相同2 合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 m mn 个元素的所有 合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的 合数 用符号mCn 表示3 合数公式的推 ：第2页共6页（ 1）从 4 个不同元素 a,b, c, d 中取出 3 个元素的组合数C43 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出3 个元素的排列数3A4可以求得，故我们可以考察一下C 43 和 A43 的关系，如下：组 合排列abca
7、bc ,bac ,cab , acb , bca ,cbaabdabd ,bad ,dab , adb , bda ,dbaacdacd ,cad ,dac ,adc ,cda ,dcabcdbcd ,cbd ,dbc ,bdc ,cdb ,dcb由此可知 , 每一个组合都对应着6 个不同的排列， 因此，求从 4个不同元素中取出 3个元素的排列数A43 ，可以分如下两步：考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合， 共有 C 43 个； 对每一个组合的3 个不同元素进行全排列，各有 A33 种方法由分步计数原理得：A43 C 43A33 ，所以， C43A43 A33（ 2）推广：一般地，
8、求从n 个不同元素中取出m个元素的排列数 Anm ，可以分如下两步：先求从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数 C nm ； 求每一个组合中 m个元素全排列数Amm ，根据分步计数原理得：Anm CnmAmm （ 3）组合数的公式：CnmAnmn(n1)(n2)L (nm 1) 或 C mnn!m)!(n,m N,且 m n)Ammm!m! (n三、讲解范例：例 1计算：（ 1） C 74 ；（ 2） C107 ；（ 1）解： C7476 54 35；4!（ 2）解法 1： C 710 9 8765 4 120107!解法 2： C10710!10981207!3!3!第3页共6页例 2
9、求证： C mnm1C nm 1 nm证明： C mnn!m)!m!( nm 1 C nm 1nmm1n!nm (m1)!( nm1)! m1(nn!m 1)!(m1)!m)(nn!m!(n m)! C mn m1 C nm 1nm例 3 设 xN , 求 Cx12 x32x 3C x 1 的值解：由题意可得：2 x3x1，解得 2x 4 ，x12 x3 x N ， x 2 或 x3或 x4 ，当 x 2 时原式值为 7；当 x 3 时原式值为 7；当 x 4 时原式值为 11所求值为 4 或 7 或 11例 4（ 1）6 本不同的书分给甲、乙、丙3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法
10、？解： C 62 C 42C 2290 （ 2）从 5个男生和 4个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1 名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2 类：第一类 2名男生和2 名女生参加，有C52C4260 中选法；第二类 3名男生和1 名女生参加，有C53C4140 中选法依据分类计数原理，共有100 种选法错解： C52C41C61240 种选法 引导学生用直接法检验，可知重复的很多第4页共6页例 54 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法） 小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男
11、2 女，分别有 C43 ，C 42 C 61 ， C 41C62 ，所以，一共有C 43+ C 42 C 61+ C 41 C62 100 种方法解法二：（间接法） C103C 63100四、课堂练习：1 判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（ 1）从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？（ 2）从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2 7 名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）A 42B 21C 7D 63如果把两条异面直线看作“一对” ，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）A 15
12、对B 25 对C 30对D 20 对4设全集 Ua,b, c, d ，集合 A 、 B 是 U 的子集， 若 A 有 3个元素， B 有 2个元素，且 A I Ba ，求集合 A 、 B ，则本题的解的个数为（ ）A 42B 21C 7D 35从6位候选人中选出 2 人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法6从6位同学中选出2 人去参加座谈会，有种不同的选法7圆上有10 个点：（ 1）过每2 个点画一条弦，一共可画条弦；（ 2）过每3 个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形8（ 1）凸五边形有条对角线；（ 2）凸 n 五边形有条对角线9计算：（1） C153 ；（ 2） C63C84
13、 10 A, B, C, D , E 5个足球队进行单循环比赛，（ 1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11空间有 10 个点，其中任何4 点不共面，（ 1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面第5页共6页体？12壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13写出从 a, b,c, d, e 这 5个元素中每次取出4 个的所有不同的组合答案： 1.（ 1）组合 ,（ 2）排列 2. B3. A4. D5. 30 6. 157.（ 1）45（ 2） 1208.（ 1）5（ 2） n(n3) / 29. 455；210. 10； 20711. C103120 ； C10421012. C41C42C43C442411513.a, b, c, d ；a,b, c,e ；a, b, d ,e ；a, c, d, e；b,c, d, e五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：第6页共6页