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1、今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室专题十二复数本章内容主要是复数的概念、复数的运算引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算 (包括加、减、乘、除 )，了解复数的几何表示由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式【知识要点】1复数的概念中，重要的是复数相等的概念明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组 )的方法加以实现2复数的代数形式： za bi(a， b R)应该注意到 a，b R 是与 z a bi 为一个整体，解决虚数问题实际
2、上是通过 a， b R 在实数集内解决实数问题3复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数 )的运算【复习要求】1了解数系的扩充过程理解复数的基本概念与复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法及其几何意义3能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义【例题分析】例 1 m(m R )取什么值时， 复数 z (m23m4) (m2 5m 6)i 是 (1)实数 ?(2)纯虚数 ?(3)零 ?【分析】 此类问题可以应用复数的定义加以解决解： (1) 当 m2 5m 6 0，即 m 1 或 m6 时，复数z 为实数；m23m40(2)当5m6，即 m 4 时，复数
3、 z 为纯虚数；m20m23m40(3)当5m6，即 m 1 时，复数 z 为零m20【评析】 本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算这一点大家在后面的运算中更加能够体会到例 2判断下列命题的对错：(1)复平面内y 轴上所有点的集合与纯虚数集是一一对应的；(2)两个复数a bi c di 的充要条件是a c， b d；(3)任意两个确定的复数都不能比较大小；(4)若 z1 z2 R ，则 z1， z2 为共轭复数【分析】 本题进一步考察数系的概念，大家在解决此类问题时一定要跳出实数这个圈子，考虑全
4、面一些解： (1) 错误复平面内y 轴上的原点对应的是实数0，不是纯虚数(2)错误 复数 a bi 中并没有强调 a，b R 这一条件， 因此 a，b 不一定是复数的实部、 虚部，例如： 3i 4i 5i 2i，此时， a3i ， b 4、 c 5i ， d 2， ac， b d 不成立(3)错误复数中的两个确定的实数是可以比较大小的(4)错误 z1 34i， z25 4i， z1 z28 R， z1， z2 不是共轭复数【评析】 (4)中需要注意不能从两个复数运算的结果来判定这两个复数的范围；(3)中再次强调复数中对于实部和虚部必须加以明确；对于判断命题的正确与否的问题，错误的要能举出反例(
5、一个即可 )，正确的要能加以证明错误的命题最好能够加以改正例 3计算下列各式的值：今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室(1) (11 i )(2 i ) ( 43 i);3232(2)(1 2i)(3 4i )(2 i) ；(3)| (5 12i)(3 4i)| 【分析】 是本 的重点，运算中要运用法 ， 要 察 目本身的特点解： (1) ( 11 i )( 2 i) ( 43 i )( 124 ) ( 113)i1 i .32323322(2)(1 2i)(3 4i )(2 i) (3 4i 6i 8)(2 i ) (11 2i)(2 i) 24 7i(3)| (5 12i)(3 4i)
6、| | (5 12i)|(3 4i)| 52122324213 5 65.【 析】 (1) 中的 号 不容忽 ；(2)中不妨再把后两个括号先算， 果加以 ；(3)中运用复数模的运算法 要比先运算再取模方便得多复数的 算是高考中考察复数知 的重点，运算要准确，不要 快，最好从多个角度加以 例4已知复数z ， z 表示z的共 复数，且2bz (a2z)2，1 iaz求 数 a， b 的 【分析】 利用复数相等的充要条件列出 数的方程或方程 是解决此 的一般方法解： z1 i， z 1 i ， az2bz( a2z)2 , az2bza24az4z2 ， (a 2b) (a 2b)i (a2 4a)
7、 (4a 8)i，即： ( a 2b) (a 2b)i (a2 4a) (4a 8)i， a 2ba24a解得 a2或 a4a 2b4a8b1b 2.【 析】 注意到 a， b 是 数 一条件在本 中的作用，如果没有 个条件，那么a， b 都要按照复数来求， 就复 多了习题 121 1 i i2 i2008 的 是 ()A 0B 1C 1D i2复数 z1 (a2 3) ( 4a 3)i，z2 (a 7) (a2 a) i ，若 z1 z2 2 i ， 数 a 的 ()A 3B 2C 1D不存在3若复数2bi (b R ) 的 部和虚部互 相反数， b()12iA 22CB 534复数的共 复
8、数 ()12iA 1 2iB 1 2iC5若 a 是 数， ai 是 虚数， a _2D 23510D5103i3i331iz132i, z2 2 3i ，若 z36复数 z13iz2， | z3| 等于 _ 4今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室7复平面内，复数z sin2 icos2 的点所在的象限是 _8虚数 z (x 2) yi(x， y R )，若虚数的模 z| 1， y 的取 范 是 _x9已知复数 zm28m 15( m22m 15) i(m R) ，当 z 是 (1) 数； (2)虚数； (3) 虚数 ，m 3分 求 m 的 或取 范 10已知复数 (3x 2y) 5xi
9、与复数 18 (y2) i 的共 复数相等，求 数x， y 的 x22x311已知函数f (x)，求 f(1i)与 f(1 i)的 x1专题十二复数参考答案习题 12一、 ：1 C2D3 B4 A提示：(1)2 i20081i 20091i1.解： 1 i i1 i1i(2)解： z1z2 (a2 3 a 7) ( 4a3 a2 a)i 2 i，a 2a42a3或 a2即：3a31a1或 a4方程 无解a 2二、填空 5 1；61 ；7第四象限；8 (3,0)(0,3 ).533提示：(6)解： z3z132ii (2 3i )ii (4 3i )3 4i ,z2(43i)( 23i ) (4
10、3i )(23i )43i2525| z3 | |3 4i|34i |5125|25255(8)解：( x2)2y21， ky ,y0x则 k 为过圆 (x 2)2 y2 1 上点及原点的直 斜率，作 如下，今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室33，k33又 y 0， k 0 k3,0)(0,3.33三、解答题：9解： (1) 当 z 是实数时，有m22m150m5.m30(2) 当 z 是虚数时，有m22m150m5 且 m3 m3 0m22m150(3) 当 z 是纯虚数时，有m28m150m3.m310解： x， yR， ( y2)i1818( y2)i , ( y 2)i18(3x2 y)5xi,3x2y18x25x( y2)y.1211解： f ( x)x22x3x1, f (1 i )(1i )22(1i )31i2i ,1 i125(1 i )22(1i)312if (1 i )1i 12i5