《高三数学教案：构造新数列与数列中的放缩法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学教案：构造新数列与数列中的放缩法.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、构造新数列与数列中的放缩法河北望都中学汤敏军数列问题中的构造新数列与放缩法证明不等式在近几年高考题中经常出现。这类题目的难度及区分度往往很大，考生不容易掌握，有时甚至无从下手。现通过几个具体问题的分析谈谈常用的构造数列的方法与放缩手段，希望对众考生的备考有所帮助.例 1 已知数列 a n 满足： a 1 =1 且 2an 3an 11(n2) .n 22（1）求数列 a n 的通项公式；12（2）设 mN ， mn2，证明（ a n +1（ m-n+1）m1） m2nm分析：这是 06年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递
2、推公式由已知有 a n =3 an 11,学生对形如 anAan 1B( AB0,且 A1 , A ， B 是常数）22n 1形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设 anx3 (an 1x)( n 2) 即 an3 an1c与 an3 an11比较2n22n 122n 122n 1系数得 c=1.即 an1(3nan13(an 112n)2n22n 1 )2又 a11313公比为3的等比数列，2,故 ann是首项为2222故 an( 3) n 122n(2)这一问是数列、二项式定理及
3、不等式证明的综合问题.综合性较强 .即证 ( 3) mn (mn1)m21，当 m=n 时显然成立。易验证当且仅当m=n=2 时，等2m号成立。设 bn ( 3 ) mn ( m n 1)下 面 先 研 究 其 单 调 性 。 当 mn 时 ，211bn( 3) m ( mn 1) ( 3) m (11n),bn 12mn2m( bn ) m( 3) 1 (1m1)m2 (1 m 1 )41 bnbn 1bn 12n3m3m212即数列 bn 是递减数列 .因为 n 2，故只须证 b2,即证 ( 3) mm1。事实m2m第- 1 -页共 4页上， ( m 1)m1Cm11Cm21519 故上不
4、等式成立。综上，原不等mmm222m4式成立。无独有偶，在不到1 个月的 06年全国一卷高考题22 中恰出现了本例中构造数列求通项公式 an 的模型。有兴趣的同学可找做一做。例 2 设数列 an 满足 a13, an12ann 1（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）若 c11,bncn 1cn111ann, dncn 1cn求证：数列 bn dn 的前 n 项和 sn13分析：（ 1）此时我们不妨设an 1A(n1) B2(a nAnB)即 an 12anAnA B 与已知条件式比较系数得A1, B0.an 1(n1)2( ann) 又 a112, an n 是首项为2 ，公比为2 的等比数
5、列。ann 2n ,即 an2nn .（ 3） 由（ 1）知 an2nn, bn1 . 当 n2时 ,2ncnc1(c2c1 )(c3c2 ) .(cncn 1 )1b1b2.bn 11111111.2n21 .2222n 1112n2n=1c1=1cn1当时 ，也适合上式，所以2， 故2n11111bndn2n (11 )(2n 12)(2n 11)22n 122n方法一：2n122n ， 2n11 3 (这步难度较大 ,也较关键 ,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)1n11111 1 ( 2 )111bn dn3 2n ,Sn3 2322.32n6113(12n
6、)3.2方法二 :在数列中 ,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此第- 2 -页共 4页种处理达不到目的.但是当 n3 时 ,我们看 :Sn1611.(2n 11(2n 1 1)由前二项会得到 112 3714 152)37这样 Sn11111.11我们可重新加括号得6 6 7 14152n 12 2n 11Sn111)11) .(11)1(30n1n 12n 11371415222显然110,10n12n12n1122故 sn 1 得证 .这样也实现了我们的初 步想法 .也易让学生接受 . 3易验证当 n=1， 2 时sn1综上 sn1.33下面我们再举一个数列
7、中利用放缩法证明不等式的问题.例 3 已知正项数列 an 满足 a11, an 1an1an , (nN )(n 1)2（ 1）判断数列 an 的单调性；（ 2）求证：11111n 1 n 2anan 1 (n 1) 2分析：（1）an 1an10故 an 1an，即 an 1an(n1) 2故数列 an 为递增数列 .111(2) 不妨先证anan 1(n1) 211an 1anan12an12 .anan 1anan 1( n 1)2 anan 1(n 1)an 1( n 1)再 证 ：1111原 解 答 中 放 缩 技 巧 太 强 ， 下 面 给 出 另 一 种 证 法n 1n 2ana
8、n 1第- 3 -页共 4页11111111111a1an 1() (a2) .()2232.2a1a2a3anan 1(n 1)11.1(用到了累差迭加法及11这种常用的放缩手段).1 2n( n1)2n(n 1)2 31)(n111111123.1n12nn 1an 1n 11anan 1an(n 1)2anan 1(n 1)2 an 11anan1) 2( n11an 1ananan 1an an 1an11( n 1)2 anan 1(n1)2 an 12anan( n 1) 1( n 1)2 1这种证法还是比较自然的, 也易让学生接受 . .(n1)(n 1an )n1当 nanan
9、12 时，nn 111111.anan 1( n 1)(n 2) n 1 n 2易验证当 n=1 时 ,上式也成立 .综上 ,故有11111成立 .n 1 n 2anan 1(n 1)2通过以上三例 ,我们发现通过递推公式,有的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我们一个较熟悉的数列,从而求出通项公式,这也是一种化归能力的体现.有的数列题目虽不能求出通项公式 ,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等来解决问题.放缩法虽然技巧性较强 ,但多数均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学生的灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力 .也正为此 ,这种类型的题目越来越受到高考命题者的青睐.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第- 4 -页共 4页