《高二数学 加法原理和乘法原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学 加法原理和乘法原理.docx（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课题： 10 1 加法原理和乘法原理(二 )教学目的：1. 进一步理解两个基本原理 .2. 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点： 两个基本原理的进一步理解和体会教学难点： 正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1 分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方法，, ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2mn 种不同的方法2. 分步计数原理： 做一件事情，完成
2、它需要分成n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法， 做第二步有 m2 种不同的方法， , ，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N m1 m2mn 种不同的方法3. 原理浅释分类计数原理( 加法原理 ) 中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事， 同时他们之间没有重复也没有遗漏进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法， 都能独立完成这件事 . 只有满足这个条件， 才能直接用加法原理，否则不可以 .分步计数原理 ( 乘法原理 ) 中，“完成一件事，需要分成 n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完
3、成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤， 各步骤都不可缺少， 需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法， 那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同两个原理的公式是:Nm1m2mn ,Nm1m2mn三人行，必有我师这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步强调知识的综合是近年的一种可取的现象两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比两个基本原理的作用：计
4、算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”二、讲解范例：例 1 在 1 20 共 20 个整数中取两个数相加, 使其和为偶数的不同取法共有多少种 ?解 : 取 ab 与取 ba 是同一种取法. 分类标准为两加数的奇偶性, 第一类 , 偶偶相加 , 由分步计数原理得(10 9)/2=45种取法 , 第二类 , 奇奇相加 , 也有 (10 9)/2=45种取法 . 根据分类计数原理共有45+45=90 种不同取法 .例 2 在 1 20 共 20 个整数中取两个数相加, 使其和大于20 的不同取法共有多少种
5、 ?解 : 分类标准一 , 固定小加数 . 小加数为1 时, 大加数只有20 这 1 种取法 ; 小加数为 2 时, 大加数有19 或 20 两种取法 ; 小加数为3 时, 大加数为18,19 或 20共 3 种取法 , 小加数为 10 时 , 大加数为 11,12, , ,20 共 10 种取法 ; 小加数为 11时 , 大加数有 9 种取法 ,小加数取19 时 , 大加数有1 种取法 . 由分类计数原理 ,得不同取法共有1+2+,+9+10+9+,+2+1=100 种.分类 标准二: 固定和 的值 . 有和 为 21,22, ,39 这几类 , 依次有取法10,9,9,8,8,2,2,1,
6、1种 . 由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+,+2+2+1+1=100 种 .例 3 如图一 , 要给 , , , 四块区域分别涂上五种颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同颜色, 则不同涂色方法种数为()A. 180B. 160 C. 96D. 60图一图二图三若变为图二 , 图三呢 ?(240种,5 4 4 4=320 种 )例 4如下图 , 共有多少个不同的三角形?三人行，必有我师解 : 所有不同的三角形可分为三类”第一类 : 其中有两条边是原五边形的边, 这样的三角形共有5 个第二类 : 其中有且只有一条边是原五边形的边, 这样的三角形共有 5 4=2
7、0 个第三类 : 没有一条边是原五边形的边, 即由五条对角线围成的三角形 , 共有 5+5=10 个由分类计数原理得, 不同的三角形共有5+20+10=35 个 .例 5 75600 有多少个正约数?有多少个奇约数?解 :75600的约数就是能整除75600 的整数 , 所以本题就是分别求能整除75600 的整数和奇约数的个数.由于 75600=2 433 52 7(1)75600的 每 个 约 数 都 可 以 写 成 2l3 j5k7l 的 形 式 , 其 中0i4 , 0j3 , 0k2 , 0l1于是 , 要确定75600 的一个约数 , 可分四步完成 , 即 i, j , k, l 分
8、别在各自的范围内任取一个值, 这样 i 有 5 种取法 , j 有 4 种取法 , k 有 3 种取法 , l 有 2 种取法 ,根据分步计数原理得约数的个数为54 3 2=120 个 .(2) 奇约数中步不含有2 的因数 , 因此 75600 的每个奇约数都可以写成3 j5k 7 l 的形式 , 同上奇约数的个数为 4 3 2=24 个 .三、课堂练习 ：1.用 1,2,3,4,5可组成多少个三位数?( 各位上的数字允许重复)2.用数字 1,2,3可写出多少个小于1000 的正整数 ? ( 各位上的数字允许重复 )3.集合 A= a,b,c,d,e , 集合 B= 1,2,3 , 问 A到
9、B 的不同映射 f 共有多少个 ?B到 A 的映射 g 共有多少个 ?4.将 3 封信投入4 个不同的邮筒的投法共有多少种 ?5.4名学生从 3 个不同的楼梯下楼的方法数 .6.4名学生分配到 3 个车间去劳动 , 共有多少中不同的分配方案?7. 求集合 1,2,3,4,5 的子集的个数答案： 1. 5 5 55=6252. 3+3 2+33 =39 3. 3 5,5 34. 4 35.3 46. 3 47. 在集合 1,2,3,4,5 的子集中 , 每个元素都只有出现和不出现这2 种可能 ,所以这个集合的子集的个数为2 2 2 2 2=25=32 个 .三人行，必有我师四、小结 ：分类计数原
10、理和分步计数原理, 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 , 区别在于 : 分类计数原理针对的是“分类” 问题 , 其中各种方法相互独立 , 每一种方法只属于某一类, 用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题, 各个步骤中的方法相互依存, 某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤, 只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题 :1. 分清要完成的事情是什么；2. 是分类完成还是分步完成 , “类”间互相独立，“步”间互相联系；3. 有无特殊条件的限制五、课后作业：1用 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数字，（ 1）可以组成多少个数字不重复
11、的三位数？（ 2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（ 3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（ 4）可以组成多少个数字不重复的小于1000 的自然数？（ 5）可以组成多少个大于3000，小于 5421 的数字不重复的四位数？解（ 1）分三步：先选百位数字由于0 不能作百位数，因此有5 种选法；十位数字有5 种选法；个位数字有4 种选法由乘法原理知所求不同三位数共有554=100 个（ 2）分三步： (1) 百位数字有5 种选法； (ii)十位数字有6 位选法； (iii)个位数字有 6 种选法所求三位数共有566=180 个（ 3）分三步：先选个位数字，有3 种选法；再选百位数字
12、，有4 种选法；选十位数字也是4种选法，所求三位奇数共有344=48 个（ 4）分三类：一位数，共有6 个；两位数，共有55=25 个；三位数共有 554=100 个因此，比1000 小的自然数共有6+25+100=131 个（ 5）分 4 类：千位数字为3，4 之一时，共有2543=120 个；千位数字为 5，百位数字为0 ， 1， 2， 3 之一时，共有443=48 个；千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1 之一时，共有23=6 个；还有5420 也是满条件的1 个故所求自然数共120+48+6+1=175 个说明： 排数字问题是最常见的一种类型，要特别注意首位不能排0 第（ 5）
13、题改成： 可以组成多少个大于3000，小于 5421 的四位数？答案：588 个2求下列集合的元素个数（ 1） M( x, y) | x, yN , x y 6 ；（ 2） H( x, y) | x, yN ,1 x4,1 y 5 解：(1) 分 7 类： x 0， y 有 7种取法； x1， y 有 6 种取法； x2 ，三人行，必有我师y 有 5种取法； x3 ，y 有 4 种取法； x4 ，y 有 3 种取法； x5 ，y 有 2种取法； x6 ， y 只有 1 种取法 因此 M 共有7 6 5 4 3 2 1 28 个元素(2) 分两步： 先 x ，有 4 种可能； 再 y 有 5 种
14、可能 由乘法原理， H 共有 4 5 20 个元素3有四位同学参加三 不同的比 ，（ 1）每位同学必 参加一 ，有多少种不同的 果？（ 2）每 只 一位学生参加，有多少种不同的 果？解：（ 1）每位学生有三种 ，四位学生共有参 方法：333381种；（ 2）每 被 的方法有四种，三 共有参 方法：44464 种 .4 A a,b, c, d, e, f ， B x, y, z ，从 A 到 B 共有多少个不同映射？ 6 个人分到3 个 ，共有多少种分法？解：（ 1)分 6 步：先 a 的象，有 3 种可能，再 b 的象也是3 种可能， ， f 象也有 3 种可能， 由乘法原理知，共有 36729种不同映射；(2) 把 6 个人构成的集合，看成上面 (1) 中之 A ， 3 个 构成的集合，看成上面的 B ， 因此，所求 化 映射 ，如上 所述，共有729 种方案5.甲、乙、丙、丁四个人各写一 卡,放在一起 ,再各取一 不是自己所写的 卡 ,共有多少种不同的取法?解 : 列表排出所有的分配方案,共有 3+3+3=9 种 ,或 3 3 1 19 种六、板 （略）七、 后 ：三人行，必有我师