万有引力--教案-.docx

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1、万有引力 - - 教案 -作者 : _知识框架：万有引力定律 :表述：自然界中任何两个物体都是相同吸引的，引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟它们的距离平方成反比。公式：F G m1 m22 。引力常量 G 6.67 10 11 N m2 / kg 2 (在数值上等于两r个质量都是 1kg 的物体相距1m 时的相互作用力 )由于地球自转，重力为万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转的向心力。题型体系 :题型一、万有引力定律例 1如图，三个质点a、b、c 质量分别为 m1、 m2、M（ M m1 ，M m2）. 在 C的万有引力作用下， a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆

2、周运动，轨道半径之比r a: rb=1: 4, 则它们的周期之比 Ta: Tb=_;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、 、共线了次。b c_根据 G Mmm 4 2r ，得 T4 2 r 3, 所以 Ta: Tb= ra3 :rb3 =1:8 。在 b 运动一周的过程中， a 运r 2T 2GM动 8 周，所以 a、 b、 c 共线了 8 次。 1:8 8题型二、天体自转天体的自转角速度不能太大，否则天体将解体。例 1一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为 G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为A.4121B. M4 R3C.23D

3、.123G3GG赤道表面的物体对天体表面的压力为零说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体运动所需的向心力，有GMmm 224 R33R M要使天体不解体，自转周期必须大于R2T3G12题型三、天体的运动研究天体的运动，当一个天体的质量远远大于另外天体的质量时，一般认为中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体做圆周运动的向心力。2第 2 页 共 12 页例 1某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题图所示。该行星与地球的公转半径比为22AN 1 3B.N 3C N

4、 132D.N32NN 1NN1Mm2T 24 2T124 2T224 22由 G r 2 =mrT得 r 3= GM 。地球绕太阳公转r 3 =GM ，某行星绕太阳公转r3=GM ，12N- NT1 =1，联立解得 r2 =N2由每过 N年，该行星会运行到日地连线的延长线上可得3T2r1N1例 2太阳系中的8 大行星的轨道均可以近似看做圆轨道。下列4 幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg (T/T0) ,纵轴是 lg（ R/R0）；这里 T 和 R 分别是行星绕太阳运行周期和相应的圆轨道半径，T0 和 R0 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下

5、列4 幅图中正确的是太阳系中的 8 大行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律和万有引力定律，对于水星有 G Mm02Mm220 02， ，对于行星有 G=mR，联立解得2=m RT0R2TR032R T= 两边取对数，得 3 lg（R/R 0）=2 lg (T/T 0)，所以正确选项是 B。R0T0例 3月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ，设月球表面的重力加速度大小为g1 ，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2 ，则A g1aB g2aC g1g2aD g2g1a3第 3 页 共 12 页月球绕地球做匀速圆周运动的向心力等于在月球绕地球运行

6、的轨道处地球对月球的引力，所以g2a在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度就是月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度。题型四、 万有引力提供向心力例 1探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比A. 轨道半径变小B.向心加速度变小C.线速度变小D.角速度变小例 2 2009 年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道进入椭圆轨道， B 为轨道上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有A. 在轨道上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 B.在轨道上经过 A 的动能小于在轨道上经过 A 的动能C.

7、在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期D 在轨道上经过A 的加速度小于在轨道上经过A 的加速度例 3宇宙飞船以周期为T 绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为 M，引力常量为 G，地球自转周期为 T0 。太阳光可看作平行光，宇航员在 A 点测出的张角为，则（）A. 飞船绕地球运动的线速度为2 RB. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0T sin(/ 2)C. 飞船每次“日全食”过程的时间为T0 /( 2 )2 RRD. 飞船周期为 TGM sin(/ 2)sin( / 2)4第 4 页 共 12 页例 4火星探测项目是我国继

8、神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期T1 ，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为 T2 ，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则 T1与 T2 之比为A pq3B1CpD q3pq3q3p例 5第一颗人造地球卫星“东方红一号”运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点 N 的高度分别为 439km 和 2384km，则A 卫星在 M 点的势能大于 N 点的势能B卫星在 M 点的角速度大于 N 点的角速度C卫星在 M 点的加速度大于 N 点的加速度D卫星在 N 点的速度大于 7.9km/s例 6一物体静置

9、在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为111 ( 31 ( 4 ) 2 (3)2 ()2) 23G4 GGG题型五、 万有引力和重力、重力加速度例 1为了萤火星及其周围的空间环境的探测，我国预计于2011 年 10 月开始第萤火星探测器“萤火一号”。假设探测器在火星表面为度分别为A 1 和 A 2 的圆轨道上运动时，周期分别为T1 和 T2。火星可视为度量分布均匀的球体。忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出A 火星的密度和火星表面的重力加速度B 火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C火星的半

10、径和“萤火一号”的质量 D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力例 2宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若它在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处(取地球表面重力加速度g 10 m/s2，空气阻力不计)(1) 求该星球表面附近的重力加速度g； (2) 已知该星球的半径与地球半径之比为R 星 R 地 1 4，求该星球的质量与地球质量之比M 星 M 地(1) 小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有v v gt ； v v5第 5 页 共 12 页g2Mmg5t ，所以有g 5 2 m/s.(

11、2)忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有GR2 ，所以有gR2星：22： (1)2 m/s2(2)1 80，可解得：地 1154 1 80.mgMGMM题型六、距离、高度问题例 1地球质量大约是月球质量的 81 倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这个飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少？设 R 是飞行器到地心的距离， r 是飞行器到月球的距离。则由题意：G M 地 mG M 月mR2r 2RM 地9rM 月1例 2地球质量约为月球质量的 81 倍，地球半径约为月球半径的 3.8 倍，则地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的

12、多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？设想地球表面有一质量为m 的物体，忽略自转，则mg1G M 1m 同理在月球表面：R12mg2GM 2mg1M 1R22v0 22g2M 22 6 由竖直上抛运动规律可得，上升的最大高度HR2R12gH 1g21H 2g16题型七、加速度、角速度、线速度问题例 1地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h 的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为 R。不计地球自转的影响，物体的重力等于物体受到的万有引力。地面：mg G Mmh 高处：R2mg MmG( R h

13、)2g R2g(R h) 2例 2月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着 3kg 的重物产生最大为 10m/s2 的竖直向上的加速度， g 地 取 10m/s2 ，将重物和绳子带到月球表面用该绳子能使重物产生在月球表面竖直向上的最大加速度是多大？由牛顿第二定律可知：在地球表面：Fmgma在月球表面： Fmg ma amg ma mgg a g 10 10110 18.3(/m s2)m66第 6 页 共 12 页例 3在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星。它们围绕两球连线上的某一点作圆周运动。由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变。已知两星质

14、量分别为 M 1 和 M 2，相距 L，求它们的角速度。如图，设 M 1 的轨道半径为 r1，M 2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为 ，根据牛顿第二定律有：M 1 M 22M1M 22GL2M r1GL2M r2 而 r1 r2L 以上三式联立解得：1 G ( M 1 M 2 ) 双星之间的万有引力是一对相互作用力，分别提供各自做匀速圆周运动的向LL心力，所以它们能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，且角速度相同例4月球与地球质量之比约为1 80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动据此观

15、点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为()A 1 6400B 1 80C 801D 6400 1月球与地球做匀速圆周运动的圆心在两质点的连线上，所以它们的角速度相等，其向心力是相互作用的万有引力提供的，大小相等，即m 2r M 2R，所以m r M R，即 mv Mv，所以v v M m801，例 5我国成功发射第8 颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多可地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖， GPS由运行周期为12 小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS导航的轨道半径分别为R1 和 R2 ，向心加速度分别为a1 和 a2 ，则 R1 : R2 是

16、多少？ a1 : a2 是多少？（可用根式表示）由GMm42R 得 R3 GMT2所以R13 4R 2m24 2R21T由GMmma得 aGM所以 a1R221R 2R 2a2R123 16题型八、密度、质量问题 （万有引力全部提供向心力）Mm224 2r 343 r 3由r 得M3G r 2mTGT 2又 M3R得GT 2 R3例 1已知地球的半径 R6400km ，地面重力加速度 g9.8m / s2 ，求地球的平均密度。7第 7 页 共 12 页设在地球表面上有一质量为m 的物体，则Mm，得 MgR2，而GmgG R2MgR23gV4，34 GR3R G代入数据得：5.4 103 kg

17、/ m3例 2木星的一个卫星运行一周需要时间1.5104，其轨道半径为7，求木星的质量s9.2 10 m为多少千克？木星对卫星的万有引力提供卫星公转的向心力：G Mmm2 r ， M4 2r 342 (9.210 7 )32.0 1027 kgr 2GT 26.6710 11(1.5 104 ) 2例 3地球绕太阳公转，轨道半径为R，周期为 T。月球绕地球运行轨道半径为 r，周期为 t，则太阳与地球质量之比为多少？地球绕太阳公转，太阳对地球的引力提供向心力则Gm日m地m地42得： m日4 2 r 3R2T2R ，GT2月球绕地球公转，地球对月球的引力提供向心力则Gm地 m月月42地4 2r 3

18、R2mt 2r得： mGt 2太阳与地球的质量之比m日R3 t 2m地r 3T 2例 4地球可视为球体，自转周期为 T，在它两极处，用弹簧秤测某物体重力为 P，在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为 0.9P，地球的平均密度是多少？重力是由于地球的吸引而产生的，但不能认为重力就是地球对物体的吸引力。只有在两极处，重力才等于万有引力，在其他地方，由于地球自转，物体的重力都小于万有引力，严格来讲，重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。设物体质量为 m，地球质量为 M ，半径为 R。在两极处：物体重力等于万有引力PG Mm2 ，在R赤道处：地球对物体的万有引力与弹簧

19、对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律：Mm4 240 2 R3M40 2 R330GT 2G R20.9P m T 2 R 两式联立可得： MGT 2地球的平均密度V43GT 23R例 5中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为 T= 1 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计30算时星体可视为均匀球体。(引力常数 G=6.6 710 11m 3 /kg.s2 )8第 8 页 共 12 页设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为，质

20、量为 M ，半径为 R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为 m，则有 GMm m 2 R2M4 R3 由以上各式得3，代入数R 2T3GT 2据解得：1.27 1014 kg / m3 。例 6（ 1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公转周期 T 的二次方成正比，即 a3k ，k 是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳T 2的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量 k 的表达式。已知引力常量为 G，太阳的质量为 M 太 。（ 2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为 3.84

21、 108m，月球绕地球运动的周期为 2.36 106S，试计算地球的质 M 地 。（ G=6.6710-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）（ 1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a 即为轨道半径 r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有m行 M太22于是有r 3GGGr 2m行 ( T) rT 24 2 M 太 即 k4 2 M 太 2 在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期 T，由式可得 R3GM 地T 242解得M 地=61024kg（ M 地 =51024kg 也算对）题型九、周期问题例 1一探空火箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径

22、的9倍，则探空火箭绕太阳公转周期为多少年？方法一：设火箭质量 m1，轨道半径 R，太阳质量为 M ，地球质量为 m2，轨道半径为 r。火箭绕太阳公转，则 G Mm123m142R 得： T12R地球绕太阳公转，则R2T1GMMm2m24 22r 3T1R327火箭的公转周期为 27 年。G22 r 得： T2GMT2r3rT2例 2设 A、B 两颗人造地球卫星的轨道都是圆形的，A、 B 距地面的高度分别为hA、 hB，且 hAhB，地球半径为 R，则这两颗人造卫星的周期比是()TATATAR hA 3TAR hA 1B.1B3BA. TBTBC.TBD.TBR hR h23两颗人造卫星具有相同

23、的中心天体，则可以应用开普勒第三定律处理关于运行半径和周期的关系，有TARA2 3，可TBRBTAR hA33，得：R hTBB例3已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6 倍若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5 倍，则该行星的自转周期约为 ()9第 9 页 共 12 页A 6 小时B 12 小时C 24 小时 D 36 小时Mm2设地球或行星的半径为r，根据万有引力提供向心力，对地球或行星的同步卫星有G2 ()2(rr hmT43r h3T133 2) ， 3，有r 1 h1r 21 24 h ，1 61，h2 2.5r2， 1 r，得33

24、3，其中h MTGrT2r 2 h2r 1 1Th r3 2 2，代入上式得212 h.T 型十、行星表面重力加速度、 道重力加速度 ：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：Mmmg0 g0GMGMmGMG2R2 道重力加速度：Rh2mg h g h2RRh例 1一 星 某行星做匀速 周运 ，已知行星表面的重力加速度 g0，行星的 量 M 与 星的 量 m 之比 M/m= 81，行星的半径 R0 与 星的半径 R 之比 R0 ，行星与 星之 的距/R3.6离 r 与行 星的半径 R0 之比 r/R060。 星表面的重力加速度 g， 在 星表面有GMmmg r 2 算得出： 星表面的重力加速度

25、 行星表面的重力加速度的 1/3600。上述 果是否正确？若正确，列式 明；若有 ，求出正确 果。 中所列关于 g 的表达式并不是 星表面的重力加速度，而是 星 行星做匀速 周运 的向心加速度。正确的解法是 星表面Gm g行星表面GM=g0 即R0)2 mg即 g =0.16g0。R 22(M=R0Rg0 型十一、双星 两个 量相差不太大、相距 近的两个天体称 双星。若忽略其他星球的影响，双星在万有引力作用下 两者的 心（双星 上一点）运 ，运 周期相等。例 1两个星球 成双星，它 在相互之 的万有引力作用下， 上某点做周期相同的匀速 周运 。 得两星中心距离 R，其运 周期 T，求两星的 量

26、。 两星 量分 M1 和 M2，都 上 O 点作周期 T 的 周运 ，星球1 和星球 2 到 O 的距离分 l 1 和 l2。由万有引力定律和牛 第二定律及几何条件可得M1： G M 1M 2 M1（ 2）2 l 1R2TM2 4 2R2 l1GT 2对 M2：G M 1M 2 M2（ 2）2 l2M 1 42 R2l 2 两式相加得 M1 M2 4 2 R2（l 1l 2）R 2TGT 2GT 24 2 R3GT 210第 10 页 共 12 页例 2有双星 A， B，都视为质点， A， B 绕两者连线上的 O做匀速圆周运动， AB之间距离不变，引力常量为 G，观测到 A 的速率 V 和运行

27、周期 T，质量为 m1，m2（ 1）求 B 的周期和速率（ 2）A 受 B 的引力 FA 可等效为位于 O点处质量为 m的星体对它的引力，试求 m （用 m1 、m2 表示）（1）设 A、 B的轨道半径分别为r 1、 r 2，它们做圆周运动的周期 T、角速度 都相同，根据牛顿运动定律有 FAm12r1 m22 r2即 r1m2则 B 的周期和速率分别为： TB TATr 2m1vBm1r Am1vrBm2m2(2)A 、B 之间的距离： rr1r2m1m2 r1根据万有引力定律： FA G m1m2G m1m得m2r 2r12mm23m2 )2(m1例 3 如图，质量分别为 m 和 M 的两个

28、星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L 。已知 A 、B 的中心和 O 三点始终共线， A 和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为 G。（ 1）求两星球做圆周运动的周期：（ 2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和 B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为 5.98 1024 和 22。求T2 与 T1 两者平方之比。（结果保留3 位小数）kg7.35 10kg（1）A 和 B 绕 O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和 B 所受的向心力相等。且 A 、B 和 O 始终共线，说明A 和 B 有相同的角速度和周期。则有：mr2= MR2，r+R=L ，11第 11 页 共 12 页联立解得 R=mL/(M+m )，r=ML /(M+m )。 对星球 A ，根据牛顿第二定律和万有引力定律得G M m =mr22L2T解得 T=2L3