1、1第二章第二章 泊松过程泊松过程v泊松过程定义泊松过程定义v泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征v时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布条件分布v复合泊松过程复合泊松过程v非齐次泊松过程非齐次泊松过程v更新过程更新过程2计数过程：计数过程：称随机过程称随机过程N(t),t0为计数过程，若为计数过程，若N(t)表示到时刻表示到时刻t为止已发生的为止已发生的“事事件件A”的总数，且的总数，且N(t)满足下列条件：满足下列条件：1.N(t)0;2.N(t)取正整数值；取正整数值；3.若若st，则，则N(s)N(t)；4.当当s0），事件），事件A发生的次
2、数发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时仅与时间差间差s有关，而与有关，而与t无关。无关。3泊松过程定义泊松过程定义1：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有参数为具有参数00的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件：1 1、X(0)=0X(0)=0；2 2、X(tX(t)是独立增量过程；是独立增量过程；3 3、在任一长度为、在任一长度为t t的区间中，事件的区间中，事件A A发生的次数服从参数发生的次数服从参数0的泊松分布，的泊松分布，即对任意即对任意s,t0，有，有泊松过程同时也是平稳增量过程泊松过程同时也是平稳增量过程表示单位时间内事件表示单位时间内事件A发生的平均个
3、数，故称为过程的速率或发生的平均个数，故称为过程的速率或强度强度4泊松过程定义泊松过程定义2：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有参数为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件：1.X(0)=0；2.X(t)是独立、平稳增量过程；是独立、平稳增量过程；3.X(t)满足下列两式：满足下列两式：例如：例如：电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；机器在一段时间内发生故障的次数；机器在一段时间内发生故障的次数；保险的理赔保险的理赔5定理定理：定义定义1和定义和定义2
4、是等价的。是等价的。例子：设交换机每分钟接到电话的次数例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为是强度为的的泊松过泊松过程。求程。求(1)两分钟内接到两分钟内接到3次呼叫的概率。次呼叫的概率。(2)第二分钟内接到第第二分钟内接到第3次呼叫的概率。次呼叫的概率。6泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征设设X(t),t0是泊松过程，对任意的是泊松过程，对任意的t,s 0,)，且，且ss1+s2|Ss1。即假定最近一次事件即假定最近一次事件A发生的生的时间在在s1时刻，下一次事件刻，下一次事件A发生的生的时间至少在将来至少在将来s2时刻的概率刻的概率。9时间间隔的分布时间间隔的分布设设N(t)
5、t0是泊松过程，令是泊松过程，令N(t)表示表示t时刻事件时刻事件A发生的次数，发生的次数，Tn表示表示从第（从第（n-1）次事件）次事件A发生到第发生到第n次事件次事件A发生的时间间隔。发生的时间间隔。10定理：定理：设设X(t),t0为具有参数为具有参数的泊松过程，的泊松过程，Tn,n1是对应的时间间隔序列，则是对应的时间间隔序列，则随机变量随机变量Tn是独立同分布的均值为是独立同分布的均值为1/的指数分布。的指数分布。对于任意对于任意n=1,2,事件事件A相继到达的时间间隔相继到达的时间间隔Tn的分布为的分布为概率密度为概率密度为11等待时间的分布等待时间的分布等待时间等待时间Wn是指
6、第是指第n次事件次事件A到达的时间分布到达的时间分布因此因此Wn是是n个相互独立的指数分布随机变量之和。个相互独立的指数分布随机变量之和。12定理：定理：设设Wn,n1是与泊松过程是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为服从参数为n与与的的分布，其概率密度为分布，其概率密度为例：已知仪器在例：已知仪器在0，t内发生振动的次数内发生振动的次数X(t)是具有参数是具有参数的的泊松过泊松过程，若仪器振动程，若仪器振动k（k=1）次就会出现故障，求仪器在时刻）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常正常工作的概率。工作的概率。13到达时间的条件分布到达时
7、间的条件分布假设在假设在0,t内时间内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的的分布。分布。泊松过程泊松过程平稳独立增量过程平稳独立增量过程可以认为可以认为0,t内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在说，这个事件的到达时间应在0,t上服从均匀分布。对于上服从均匀分布。对于st有有分布函数分布函数分布密度分布密度14定理：定理：设设X(t),t0是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在0,t内事件内事件A发生发生n次，则这次，则这n次到达时间次到达时间W1W2,Wn
8、与相应于与相应于n个个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。有相同的分布。例题例题设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，且次，且0st，对于，对于0kn，求，求PX(s)=k|X(t)=n例题例题设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，求第次，求第k(kn)次事件次事件A发生的时间发生的时间Wk的条的条件概率密度函数。件概率密度函数。1、设、设X(t),t0是泊松过程，在给定是泊松过程，在给定0,t内事件内事件A发生发生n次的条件下，这次的条件下，这n次到达时间次到达时间W1，W2,，Wn，每一个都是，每一个都是U0,
9、t的一个样本，且相互独的一个样本，且相互独立。立。2、若不考虑其大小顺序，其分布就如、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量个独立的均匀随机变量U0,t，如，如到达时间的条件分布的说明到达时间的条件分布的说明3、如果我们有一组、如果我们有一组n个独立均匀分布个独立均匀分布U0,t随机变量的观测值，将其按大随机变量的观测值，将其按大小排列，则可以将其视为给定小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的的齐次泊松过程的n个到达点，是一个到达点，是一种产生齐次泊松过程的方法种产生齐次泊松过程的方法16例题例题设设X1(t),t 0和和X2(t),t 0是两个相互独立的泊松过程
10、它们在单位时间是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为内平均出现的事件数分别为1和和2，记，记 为过程为过程X1(t)的第的第k次事件到达时次事件到达时间，间，为过程为过程X2(t)的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求例题例题有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约客元，设签约客户为参数为户为参数为的泊松过程，求公司在的泊松过程，求公司在(0，t时间段内的平均总收入。时间段内的平均总收入。17非齐次泊松过程非齐次泊松过程允许时刻允许时刻t的来到强度是的来到强度是t的函数的函数定义：定
11、义：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数(t)(t)的非齐次泊松过程，若的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：它满足下列条件：1.1.X(0)=0X(0)=0；2.2.X(tX(t)是独立增量过程；是独立增量过程；3.3.非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为18定理：定理：设设X(t),t0为具有均值函数为具有均值函数 非齐次泊松过程，非齐次泊松过程，则有则有或或19到达时间的条件分布到达时间的条件分布20例题例题设设X(t),t0是具有跳跃强度是具有跳跃强度 的非齐次泊的非齐次泊松过程（松过程（0），求），求EX
12、t)和和DX(t)。例题例题设某路公共汽车从早上设某路公共汽车从早上5时到晚上时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：时有车发出，乘客流量如下：5时时按平均乘客为按平均乘客为200人人/时计算；时计算；5时至时至8时乘客平均到达率按线性增加，时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为时到达率为1400人人/时；时；8时至时至18时保持平均到达率不变；时保持平均到达率不变；18时到时到21时从到达率时从到达率1400人人/时按线性下降，到时按线性下降，到21时为时为200人人/时。假定乘客时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至时至14时有时有
13、2000人来人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。21复合泊松过程复合泊松过程定义：定义：设设N(t),t0是强度为是强度为的泊松过程，的泊松过程，Y Yk k,k,k=1,2,=1,2,是一列独立同分布是一列独立同分布随机变量，且与随机变量，且与N(t),t0独立，令独立，令则称则称X(t),t0为复合泊松过程。为复合泊松过程。N(t)YkX(t)在时间段在时间段(0,t内来到商店的顾客数内来到商店的顾客数第第k个顾客在商店所花的钱数个顾客在商店所花的钱数该商店在该商店在(0,t时间段内的营业额时间段内的营业额22定理
14、定理设设 是复合泊松过程，则是复合泊松过程，则1.X(t),t0是独立增量过程；是独立增量过程；2.X(t)的特征函数的特征函数 ，其中，其中 是随机是随机变量变量Y1的特征函数，的特征函数，是时间的到达率；是时间的到达率；3.3.若若E(YE(Y1 12 2)，则，则例题：结巴（例题：结巴（stuttering）泊松过程）泊松过程对于一个复合泊松过程，如果对于一个复合泊松过程，如果Yn服从几何分布：服从几何分布：24泊松过程的分解泊松过程的分解例题例题设到达某商场的顾客组成强度为设到达某商场的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾
15、客是否购买商品无关，若，且与其他顾客是否购买商品无关，若X(t)，t0为购买商品的顾客数，为购买商品的顾客数，证明证明X(t)，t0是强度为是强度为 p的泊松过程。的泊松过程。泊松过程的分解：泊松过程的分解：强度为强度为的泊松过程，事件的泊松过程，事件A在时刻在时刻s到达，则此到达可分解成概率为到达，则此到达可分解成概率为P(s)的的type-1到达和概率为到达和概率为1-P(s)的的type-2到达，用到达，用Ni(t)，t0，i=1,2，表示，表示type-i在时间在时间(0,t的达到次数，则有的达到次数，则有25泊松过程的分解可推广到泊松过程的分解可推广到n个类型，用个类型，用Pi(s)
16、表示表示type-i在时刻在时刻s达到的概率，达到的概率，定义：定义：则则Ni(t)，t0为参数为参数 pi的泊松分布，且的泊松分布，且Ni(t)相互独立相互独立例：某沙滩汽车的到达服从指数为例：某沙滩汽车的到达服从指数为的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间分的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间分布为布为G(s)，假定各汽车逗留时间，假定各汽车逗留时间之间，之间，以及逗留时间与到达时间之间相互以及逗留时间与到达时间之间相互独立，用独立，用N1(t)表示时刻表示时刻t离开沙滩的汽车数量，离开沙滩的汽车数量，N2(t)表示时刻表示时刻t仍然在仍然在沙滩上的汽车数量，则沙滩上的汽车数量，则N1(t)和和 N
17、2(t)是一个是一个type-1和和type-2的分解。的分解。26更新过程：更新过程：设设N(t),t0N(t),t0为计数过程，为计数过程，x xn n（n n11）表示第表示第n-1n-1次事件和第次事件和第n n次事件次事件的时间间隔，并设的时间间隔，并设xx1 1,x,x2 2,为独立同分布的非负随机变量序列，则为独立同分布的非负随机变量序列，则称计数过程称计数过程N(t),t0为更新过程。为更新过程。例：某设备的寿命是独立同分布的随机变量，每次只有一台设备工作，例：某设备的寿命是独立同分布的随机变量，每次只有一台设备工作，当设备损坏后立即更换新的设备，则在时间当设备损坏后立即更换新
18、的设备，则在时间t t内损坏的设备数就是一内损坏的设备数就是一个更新过程。个更新过程。更新过程的参数：更新过程的参数：N(tN(t)：0,t0,t内事件内事件A A发生的次数；发生的次数；x xn n：第：第n n次事件的更新间隔；次事件的更新间隔；S Sn n=x=x1 1+x+x2 2+x+xn n：第：第n n次事件的更新时刻。次事件的更新时刻。27Sn与与xn的关系：的关系：x x1 1,x,x2 2,x xn n为独立同分布的非负随机变量序列，设其概率密度函数为为独立同分布的非负随机变量序列，设其概率密度函数为f(tf(t)，分布函数为，分布函数为F(tF(t)。则根据独立随机变量序
19、列和的性质知，。则根据独立随机变量序列和的性质知，S Sn n的的概率密度函数概率密度函数f fn n(t(t)为为f(tf(t)的的n n次卷积，分布函数次卷积，分布函数F Fn n(t(t)为为F(t)的的n n次卷积。次卷积。N(t)与与Sn的关系：的关系：注意：注意：S Sn nt t N(tN(t)n，则：，则：PSPSn nt=t=PN(t)nPN(t)n 若在若在0,t0,t内，发生了内，发生了n n次更新，即次更新，即Snt，Sn+1 t，则：，则：PN(t)=n=PSnt,Sn+1t=PN(t)n-PN(t)n+1 =PSnt-PSn+1t =Fn(t)-Fn+1(t)更新过
20、程的均值函数：更新过程的均值函数：28更新过程的更新强度更新过程的更新强度(t)：设设(t)的拉氏变换为的拉氏变换为l(s)，f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为fl(s)，则根据拉氏变换性质知：，则根据拉氏变换性质知：对上式两边做拉氏变换，得：对上式两边做拉氏变换，得：fn(t)的拉氏变换为的拉氏变换为fl(s)n。对上式两边做拉氏反变换，得：对上式两边做拉氏反变换，得：29更新过程的更新速率：更新过程的更新速率：Sn是第n次更新事件发生的时刻；N(t)是到时刻t，更新事件发生的次数，则在时刻t，有对上式做一个变换，得：N(t)是一个计数过程，当t趋近与无穷时，N(t)也趋于无穷。N(t)+1/
21、N(t)趋近于1，故当t趋近与无穷是时，上式会趋近于一个常数。令：1/称为更新过程的速率，即单位时间内的更新次数；就是平均的更新间隔。30泊松过程和更新过程：泊松过程和更新过程：泊松过程的事件间隔泊松过程的事件间隔x的分布为负指数分布：的分布为负指数分布：31则泊松作为更新过程的分布函数为：则泊松作为更新过程的分布函数为：Sn的分布函数为：的分布函数为：其均值函数为：其均值函数为：其更新强度为：其更新强度为：结论：泊松过程是更新强度为常数的更新过程。结论：泊松过程是更新强度为常数的更新过程。32例例2：某理发店只有一个理发师，顾客的到达为参数为：某理发店只有一个理发师，顾客的到达为参数为的泊松的泊松过程。程。顾客到达客到达时，如果理，如果理发师空空闲，则进入理入理发店理店理发；如果理；如果理发师忙，忙，则则离去。理发师的服务时间服从某一分布律，均值为离去。理发师的服务时间服从某一分布律，均值为g。求。求顾客客进入理入理发店理店理发的速率的速率。例例1：设更新过程：设更新过程N(t)的更新间隔服从几何分布，求的更新间隔服从几何分布，求N(t)的分布函数。的分布函数。33v作业作业 3.1 3.5 3.7
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