谢寿才版概率统计习题及其解答（7页） -- .docx

《谢寿才版概率统计习题及其解答（7页） -- .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《谢寿才版概率统计习题及其解答（7页） -- .docx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、谢寿才版概率统计习题及其解答（7页） - - 习题四 1 .设随机变量X的分布律为-10120.10.20.3求 p, E(X), E(2X 1).答案：p 0.4, E(X) 1, E(2X 1)1；2.设随机变量X的分布律为-101且已知 E(X) 0.1 , E(X2)0.9,求 p1, p2, P3.解因R P2 B 1，又 E(X) ( 1)R 0gR 1gP3 P3 P 0.1 ，E(X2) ( 1)2gP1 02gP2 12gR P P3 0.9 由联立解得P0.4,P20.1,B0.53.设随机变量X的概率密度为求E(X) , D(X).解E(X)xf(x)dx1 2,0xdx

2、21X(2x)dx1 故 D(X) E(X2) E(X)2-.6设随机变量X的概率密度为求(1) c ; (2)E(X) ; ( 3) D(X).解(1)2 2由f (x)dx 0 cxedx21 得 c 2k2k2(2)E(X)xf(x)d(x) 02k2x2xc2k xe dx(3)2E(X )2x f(x)d(x)22k2x2 1x g2k xe2.0k2故D(X)2 2E(X ) E(X). n4 n2k2k4k过单位圆上一点 P作任意弦PA , PA与直径PB的夹角 服从区间一，一 上的均匀分布，求弦PA2 2的长度的数学期望?解：弦PA的长为随机变量 X，由任意 的密度函数为6 ?

3、设X服从柯西分布，其密度函数为问E(X)是否存在？解：因为所以EX不存在。7. 一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的，且红绿两种1信号显示时间相同，以 X表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求E.1 X答案：67961 1设随机变量 X服从区间丄丄上的均匀分布，求 Y sin( X)的数学期望与方差.2,21解：EY21 sin xdx 0,21DY EY221sin2 xdx 14( 200) (1 e 1420033.64 (元).设随机变量X,Y,Z相互独立，且E(X) 5, E(Y) 11, E(Z) 8,求下列随机变量的数学期望.(1)

4、 U 2X 3Y 1 ; (2) V YZ 4X .解(1) E(U) 42 ; (2) E(V) 68设随机变量(X ,Y)的概率密度为ii 1试确定常数k，并求E(XY).1x1解因f (x, y)dxdy odx o kdy -k 1,故 k=21xE(XY)xyf (x, y)dxdy o xdx o 2ydy 0.25.设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求 E(XY).解先求X与Y的均值由X与Y的独立性，得袋中装有12个灯泡，其中9个好灯泡，3个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时， 从袋中一个一个地取出(取出后不放回)，设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量X，求E

5、(X)和D(X).解其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知于是，得到X的概率分布表如下:X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 E(X) 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.0050.301.14.设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求丫2的数学期望31, x n解令Y3(i1,2,3,4)0, X n.43则YY?B(4, p).因为d2d2f(x)dx21，求 Cov(3X 2Y 1,X 4Y 3).nnnn3 1x1p pmn1 px n 及pxn。二。岂血丁所以 E(Y) 1，D(Y) ,E(Y) 4-2

6、 2,1 1 2 2D(Y) 4 - - 1 E(Y2) (EY)2,从而 E(Y2) D(Y) E(Y)2 1 22 5.15.设随机变量X的数学期望E（X）存在，对于任意x，求函数f（x） E（X x）2的最小值，并说明解：2 2 2f (x) E(X x) E(X ) 2xE(X) xdf(x) 2x 2E(X)， dx当 df(x) 2x 2E(X)0时，有唯一驻点 x E(X)，dx其意义?又20,所以在x E（X）时，取极小值，也是最小值:这说明随机变量对其数学期望的偏离程度，比它对其他任意数偏离程度都小，最小值为其方差。X =1,若U1,Y =1,若U1，1,若U1,1,若U1.

7、试求D（XY).解因D(XY)E(XY)2E(XY)2,而 乂+丫及（X+Y）2的概率分布相应为20204XY?111 ,(XY)211 .42422从而E(XY)(2)丄24140,所以D(XY)E(XY)2E(XY)22.16.设随机变量U服从区间2,2上的均匀分布，随机变量17.对随机变量 X 和Y，已知 D(X) 2,D(Y) 3,cov(X,Y)解 Cov(3 X 2Y 1,X 4Y 3)3D(X) 10Cov(X,Y) 8D(Y)18.设二维随机变量（X,Y）在以（0, 0），（ 0，1），（ 1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求cov(X,Y) 及相关系数.解如图，漳2，

8、故(x，*的概率密度为从而D(X)E(X2)E(X)2丄18同理E(Y)丄18E(XY)从而D(X)E(X2)E(X)2丄18同理E(Y)丄18E(XY)xyf (x, y)dxdy2xydxdy1dx012xydy12所以Cov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)丄36从而XYCov(X,Y)丄Cov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)丄36从而XYCov(X,Y)丄12丄3619.设随机变量的概率密度为19.设随机变量的概率密度为1|x|f(x) ?e ,(1)求 E(X)及 D(X)；(2)(2)求 cov(X, X ),并问 X 与 X是否不相关?(3)问X与X是否相互独立，为什么

9、?A解 E(X)xge |x|dx 0. Cov(X,|X) E(XgX|) E(X)cE(|X |) E(XgX|)所以X与|X|互不相关.(3)为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域？?XVXVI中的子区间(0,+ X)上给出任意点 X0,则有所以 0 P| X | Xo PXxo 1.故由得出X与|X|不相互独立.20.已知随机变量 X和Y分别服从正态分布 N(1,3220.已知随机变量 X和Y分别服从正态分布 N(1,32)和N(1,42)，且X与Y的相关系数XY0.5,(1)求 E(Z),D(Z)；(2)求X与Z的相关系数XZ,并判断X与Z是否相互

10、独立解(1) E(Z) E I所以D(Z) 16 3 3.(2)因 Cov(X,Z)XCov X,TY 123Cov X,X12Cov X,Y所以XZCov(X,Z) 0 D(X)g D(Z).由xz 0，得X与Z不相关.又因Z N?3 NW，所以X与Z也相互独21.将一枚硬币重复掷n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数XY?解由条件知 X+Y二n则有D(X+Y)=D(n)=0.1 再由 XB(n,p),YB(n,q)，且 p=q=-,2从而有D(X) npq - D(Y)4所以 0 D(X Y) D(X) D(Y) 2 x. D(X)g D(Y)nn22 xy，故 XY=-1.