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1、实数（提高）责编：康红梅 【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111.带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分： 实数按与0的大小关系分： 实数
2、 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念1、把下列各数分别填入相应的集合内
3、：，0，0.3737737773（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 有理数集合 无理数集合【答案与解析】有理数有：， ，0，无理数有：， ， 0.3737737773【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如， ，.举一反三：【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例1】【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “”，错的记“”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.()(2)无理数都是无限小数.()(3)无限小数都是无理数.
4、()(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()(5)不带根号的数都是有理数.()(6)带根号的数都是无理数.()(7)有理数都是有限小数.()(8)实数包括有限小数和无限小数.()【答案】(1)()无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002这类的数也是无理数.(2)()无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)()无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)()0是有理数.(5)()如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.(6)()如，虽然带根号，但9，这是有理数.(7)()有理数还包括无限循环小数.(8)
5、()有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较2、比较与的大小【思路点拨】根据，则来比较两个实数的大小【答案与解析】解：因为，所以【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.举一反三：【变式】（2015自贡）若两个连续整数x、y满足x+1y，则x+y的值是 【答案】7解：，x+1y，x=3，y=4，x+y=3+4=7类型三、实数的运算3、求的值【答案与解析】解：（1）当0时，所以（2）当0时，所以即值为0或2【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运
6、算，但还应注意本题需要分类讨论要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号举一反三：【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例3】【变式】若的两个平方根是方程的一组解 （1）求的值； （2）求的算术平方根【答案】解：（1） 的平方根是的一组解，则设的平方根为，则根据题意得：解得 为 （2） 的算术平方根为4类型四、实数的综合运用【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例4】4、已知，且，求的值【答案与解析】解： ，且， ，即，解得 3，5，得64 【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以64，则可求举一反三：【变式】已知，求的值【答案】解：知条件得，由得， ， ，
7、则把代入得，1 5、（2015秋萧山区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2r）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，1，5，+4，+3，2第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可【答案与解析】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是2；故答案为：2；（2）第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；|2|+|1|+|5|+|+4|+|+3|+|2|=17，Q点运动的路程共有：1721=34；（+2）+（1）+（5）+（+4 ）+（+3 ）+（2）=1，12=2，此时点Q所表示的数是2 【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键