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1、案例2 神秘的数组 “神秘的数组”介绍了美国哥伦比亚大学图书馆收藏的一块编号为“普林顿322( Plimpton322) ”的古巴比伦泥板。 教学时可以以泥板上的数字来展开教学内容。 问题1: 泥板上的60、45、75 这组数之间有什么关系? 学生通过计算可得到: 问题2: 以60mm、45mm、75mm 为边长画ABC, 并观察它的形状. 通过观察可以发现ABC 是直角三角形, 然后通过从特殊到一般的方法归纳出一般结论。数学教材中的知识往往是经过千锤百炼的， 被教材编写者“标本化”地呈现在学生面前， 失去了生气与活力。通过情境创设可以再现数学惊心动魄的发展历程，探索先人的数学思想， 缅怀先人
2、为科学而献身的精神，还其自然，恢复其生气。 钱二十贯，买四百六十尺。绫每尺四十三，罗每尺四十四。问绫、罗几何? 译意： 用20贯买了460尺绫和罗。绫每尺价43文。罗每尺价44文。买了绫、罗各几尺?解答： 假定买的全部是罗，总价应是： 44460=20240(文) 实际总价是： 100020=20000(文) 20240比实际总价多出： 2024020000：240(文) 为什么会多出240文呢?因为其中还有绫。每买尺绫，就少用4443=1(文)。240文就是把绫也当成罗计算了! 由此，可求得买绫的尺数： 240(4443)=240(尺) 买罗的尺数是： 460240=220(尺) 哥德巴赫猜
3、想1729年1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题:1.任何一个大于2的偶数都是两个素数之和2.任何一个大于5的奇数,都是三个素数之和从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, 等等。有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(1)都成立
4、。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 哥德巴赫的几个猜想从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。也没有任何实质性进展。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：任何大于特定大偶数N的偶数都可以表示为两个殆素数之和的形式，且这两个殆素数只拥有最多9个素因子。（所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的与不同的)的个
5、数不超过某一固定常数的奇整数。例如，1535有2个素因子，27333有3个素因子。）此结论被记为“9+9”。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为 （1 + 2）。勾股定理 赵爽弦图 中国勾股定理的证明 赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子
6、可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足
7、，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ A假设法： 解： 假设全是鸡：23570(只) 比总脚数少的：947024 (只) 它们腿的差：42=2（条） 24212 (只) 兔 351223(只)鸡 B方程： 解：设兔有x只，则鸡有35-x只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=24 x=12 35-x=35-12=23 答：兔有12只，鸡有23只。1 黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.6
8、18。 由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现： 1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割的来历 2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21
9、，.后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,.近似值的。2.韩信点兵。今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何。 这是我国古代名著孙子算经中的一道题。意思是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。 想：此题可用枚举法进行推算。先顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合另一个条件的数。 解：除以5余3的数： 3，8，13，18，23，28， 除以7余2的数： 2，9，16，23，30，37， 同时满足以上两个条件的数： 23，58， 满足上两个条件，又满足除以3余2的最小自然数是23。 答：符合条件物体个数是23
10、上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。 南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维挺出。”具体方法是： 4.兔子问题。十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子？ 想：第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；第四个月初，有3对兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子。把这此对数顺
11、序排列起来，可得到下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13， 观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。 解：根据题中条件，可写出下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233， 因为一年兔子对数也就是第13个月初的对数。 答：这个养兔人共有233对兔子。 5.求碗问题。我国古代孙子算经中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）。题目意思是：一位农妇在河边洗碗。邻居问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每
12、三位合用一只汤碗，每四位合用一只菜碗，共用65只碗。”她家里究竟来了多少位客人？ 想：若设客人是x人，可用各种碗的个数合起来等于碗的总数的关系列方程解答。 解：设有x位客人，根据题意，得 x= 60 答：她家来了60位客人。 此题孙子算经中的解法是这样记载的：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八十，以一十三除之，即得。”可见孙子算经的作者就是用求方程解的方法解这道题的。 6.三女归家。今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问三女何日相会？这道题也是我国古代名著孙子算经中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是：一家有三个女儿都已出嫁。大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女
13、儿三天回一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？ 想：从刚相会到最近的再一次相会的天数，是三个女儿间隔回家天数的最小公倍数。 解：3，4，5三个数的最小公倍数： 345=60 答：三个女儿至少间隔60天再相会。 17.哥德巴赫猜想。二百多年前，有一位德国数学家名叫哥德巴赫。他发现，每一个不小于6的偶数，都可以写成两个素数（也叫质数）的和，简称“1+1”。例如： 6=3+3 100=3+97 1000=3+997 8=3+5 102=5+97 1002=5+997 12=5+7 104=7+97 1004=7+997 哥德巴赫对许多偶数进行了检验，都说明这个推断是正确的。
14、以后有人对偶数进行了大量的验算，从g=EN-US6开始一个一个地一直验算到三亿三千万个数，都表明哥德巴赫的发现是正确的。 但是，自然数是无限的，是不是这个论断对所有的自然数都正确呢？还必须从理论上加以证明，哥德巴赫自己无法证明。1742年，他写信给当时有名的数学家欧拉，请他帮忙作出证明。后来欧拉回信说：“他认为哥德巴赫提出的问题是对的，不过他没有办法证明。因为没能证明，不能成为一条规律，所以只能说是一个猜想，人们就把哥德巴赫提出的那个问题称为“哥德巴赫猜想”。4.兔子问题。十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的
15、兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子？ 想：第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；第四个月初，有3对兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子。把这此对数顺序排列起来，可得到下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13， 观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。 解：根据题中条件，可写出下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233， 因为一年兔子对数也就是第13个月初的对数。 答：这个养兔人共有233对兔子。