《复数法讲义.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数法讲义.doc（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高中平面几何(叶中豪)知识要点几何变换及相似理论位似及其应用复数与几何（1） 复数的意义及运算（2） 复数与复平面上的点一一对应（3） 复数与向量（4） 定比分点（5） 重心和加权重心，三角形的特殊点（6） 面积（7） 90旋转与正方形（8） 相似与复数乘法的几何解释（9） 三次单位根与正三角形例题和习题1（Sylvester）已知P是ABC所在平面上任一点。求证：，其中G是ABC的重心。2（Lami定理）已知P是ABC所在平面上任一点，P点对于ABC的重心坐标为。求证：。3（Gergonne）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间的两组中点所构成的三角形的重
2、心重合。4（von Aubel）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂直。5以ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，使ABDACE90。求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。6已知ABC，在给定线段MN的同侧作三个彼此相似的三角形，使得 AMNNBMMN CABC。求证：ABCABC。7（1）如图，在已知ABC的周围作三个相似三角形：DBCECAFAB。求证：AFDE是平行四边形。（2）如图，在四边形ABCD周围作四个相似三角形：EABFCBGCDHAD。求证：EFGH是平行四边形。8在ABC的外围作三个相似三角形：DCBEACF
3、BA。求证：DEF的重心是定点。9若在四边形ABCD内存在一点P，使得PAB、PBC都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得QBC、QDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。10（上海市高中竞赛）设ABC是锐角三角形。在ABC外分别作等腰直角三角形： BCD、ABE、CAF，这三个三角形中，BDC、BAE、CFA是直角。又在四边形BCFE形外作等腰直角三角形EFG，EFG是直角。求证：（1）GAAD；（2）GAD135。11（第17届IMO）已知任意ABC，在其外部作ABR、BCP、CAQ，使得PBCCAQ45，BCPQCA30，RBARAB15。求证：（1）QRP90
4、；（2）QRRP。12在复平面上，ABC是正三角形的充要条件：（1）或；（2）；（3）。13（拿破仑定理）（1）在任意三角形周围同时向外或向内作正三角形，则三个正三角形的中心仍构成正三角形；（2）外、内两正三角形的面积差等于原三角形的面积。14（1941年匈牙利数学竞赛题）六边形ABCDEF内接于一圆，它的边AB，CD，EF等于圆的半径。求证：六边形ABCDEF的其它三边的中点是正三角形的顶点。15已知四边形ABCD中，B=D=30，自A作AMBC于M，自A作ANCD于N，且L是BD中点。求证：LMN是正三角形。16如图，已知ABC是正三角形，D是形内任意一点，作等腰RtBDE和等腰RtCDF
5、，并以EF为底向下方作底角为30的等腰三角形GEF。求证：A、G、D三点共线。17设D是ABC内的一点，满足DACDCA30，DBA60，E是BC边的中点，F是AC边的三等分点，满足AF2FC求证：DEEF。（2007年女子竞赛）18在ABC的外围作三个正三角形：DBC、ECA、FAB。若DEF是正三角形，求证ABC也是正三角形。19在ABC的外围作三个相似三角形：DCBEACFBA。若DEF是正三角形，求证：要么ABC是正三角形，要么DCB、EAC、FBA同时是以120为顶角的等腰三角形。20设点P是正奇数边形A1A2A2n+1。的外接圆的弧上。求证：。21在平面上任意给定n个点P1，P2，Pn。求证：在单位圆上存在一点A，满足：。