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1、第一型曲线积分的概念与性质意义：在考虑物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题的时候，需要用第一型曲线积分的概念。再一次强调，积分是由极限推来的，极限不存在积分就不存在。第一型曲线积分有下列形式：Lf(x,y)ds存在条件为极限存在 ds为弧长其性质有：此时ds=1+y(x)2dx若有则有。其实参数方程的特殊方式是y=y(x),x=x。在空间上考法：计算函数y=f(x)从A点到B点的积分。方法，1.我们用x代y，然后对x做积分。反过来对y做积分也一样。 然后记得乘上一个1+y(x)2！第二型曲线积分假如一个物体受力为F(x,y)=F(P(x,y),Q(x,y).我们计算力对物体做功，有dW=P(x
2、,y)dx+Q(x,y)dy.由此推出第二型曲线积分W=ABPdx+Qdy假如x=(t),y=(t),利用微分中值定理可得，ABPx,ydx+Qx,ydy=ABP(t),(t)(t)+Q(t),(t)(t)dt *这里利用参数方程的意义就是与定积分建立关系。如果我们用以直代曲的思想来做积分的话，那么我们可以选定一小段曲线上的任何一点来做切线，设i在ti-1与ti之间i=1nP(i,i)xi=i=1nP(xi,yi)xi。设i,=(i)，i=(i)因此有i=1nP(xi,yi)xi=i=1nP(i,i)xi=i=1nPi，iiti，因此可以推出式子*。推广到空间上是一样的道理。同理有凡是x与y的
3、等式都是参数方程的特殊情况，所以记忆的时候就记参数就行了。性质：1.第二型曲线积分是一种有向曲线弧。在积分的时候一定要分清那个是下限，那个是上限。2.可加性。*对于第二型曲线积分，如果在平面上的曲线，则选择用x代y；如果在空间上的曲线，我们一般就用参数方程来化简，一下子就可以变成对一个元的一次积分。第一型曲线积分与第二型曲线积分的转化设有向量平面曲线弧为L：x=(t),y=(t)其切向量的方向角为，其实我们发现跟上面的第二型积分的参数形式上是一样的，本质上不是一样的。不过我们可以知道，他们形式可以互推。第二型的参数形式的本质是y=f(x)是参数形式的特殊情况，而参数的本质是可以将所有不同的积分
4、都化成同一种形式的积分；而第二型曲线积分转化成第一型曲线积分的形式是属于凑出来的，没有什么本质上的含义。*切向量是有参数方程直接导出来的，而其是由f(x,y)、f(x,y,z)求偏导得到的。格林公式意义：有些平面的第二型曲线积分的值只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的选取无关。因此格林公式是为了找出与积分路径无关的条件。其本质是沟通第二型闭曲线积分与二重积分之间的联系。单连通区域是由一条光滑曲线围成的连续的区域，单连通区域但D的边界线L与某些平行于y轴的直线之焦点多于两个的时候可以通过切割法将其化成多个单连通区域，但其一定等于本身最简单曲线的积分；多连通区域是由多于一条光滑曲线围成的区
5、域，不连续区域（可以通过切割的办法将其转化为单连通区域）。连通区域的正方向沿着这个方向前进时区域总是在其的左边。记为L+.定义：设函数P(x,y),Q(x,y)在有界闭区域D上有连续的一阶偏导数，D的边界L是逐段光滑的，则有格林公式：L+Pdx+Qdy=DQx-Pydxdy(证明在单、多连通闭区域中L+Pdx= D-Pydxdy，L+Qdy=DQxdxdy，利用微分中值定理与多连通化成单连通）对于偏导之差可以化简的，则用二重积分来积；假如二重积分的被积函数不可求出其原函数，则其可以从面积积分变成曲线积分。题型：1.求曲线L围成的区域D的面积。由于当Qx-Py=1的时候L+Pdx+Qdy=区域D
6、的面积。所以对于求给出方程的曲线，求其面积的话，我们首先就要设参数方程，用其他的元素代替x,y，然后我们可以令P=-yQ=0、P=0Q=x、P=-y/2Q=x/2，要视乎所设的参数方程运用格林公式之后的计算是否可以化简而选择，最后就变成了第二型积分的参数方程形式。例如，求椭圆x2a2+y2b21的面积D。我们采用第三种。2.判断区域是否连续的问题。假如区域连续，直接用格林公式；假如区域不连续(只可以缺一个点，如原点)，则先补一个无穷小的圆进去代替一个那个缺了的点，再减去函数对圆边界的一个积分。（由不可计，到计算一个圆的积分。）*全微分：符合z=Ax+By+()形式的称f(x,y)在点(x0,y
7、0)处可微，并称Ax+By为f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。由于全微分与微分中值定理都是利用了无穷小量的原理，所以他们的A、B是一样的,A=fx(x,y),B=fy(x,y)。所以可以求出A、B。所以假如全微分存在，则一定要两个偏导数存在。假如t为位移大小，曲线l的方向余弦是（cos,cos）(其实一定也是切线的方向。)若函数f(x,y)在点P0处可微，则f(x,y)在该点沿任一方向l的方向导数均存在，且fl|P0=limt0fx0+tcos,y0+tcos-fx0,y0t=fx(x0,y0)cos+fy(x0,y0)cos3.证明L+unds与L+vnds等等于另外一些二重积分，其
8、中n是L的外法线，t为L的切向量。由nt得n=(acos-bcos)平面第二型曲线积分与路径无关的条件若第二型曲线积分与路径无关的条件，则有，而且L1-L2=L，L为一条闭合曲线，所以可得，由格林公式可得Qx=Py，设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上有一阶连续偏导数，则等式Qx=Py在D内成立的充分必要条件是Pdx+Qdy恰是某个函数u(x,y)的全微分，即有du(x,y)=Pdx+Qdy.因此P=ux，Q=uy,由于有一阶连续导数，所以Px,Qy的二阶导数相等，所以Qx=Py。ABpdx+Qdy=ABdu=uB-u(A),因此求出u是其求第二型曲线积分的另外一种方法。第一种方法
9、：由于与路径无关所以选取一条特殊路径求曲线积分(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdy(一般是（0,y）到(x,y),再(x,0)到(x,y)第二种方法：由P=u1x得u(x,y)= u1(x,y)+(y)* *式对y求偏导得到u1y+y=Q(x,y),因此可以求出(y)，从而求出u(x,y)。第三种方法：凑全微分。将全部被积函数分成一小部分，然后凑成d（），由于一阶微导具有不变性，所以可以直接将各个d（）加起来。第一型曲面积分意义：实际上就是二重积分的曲面面积的进一深化计算。其不具有方向。fx,y,zds=Dxyfx,y,z(x,y)1+zx2+zy2dxdy（由=|cos|S*可以得到）其中
10、为曲面，Dxy为在平面上的投影。其解题步骤为一投、二换、三代。注意z对x、y求偏导的时候，不可以随意化简Z的方程，因为我们需要zx,zy具有对称性，化简之后对称性有可能消失。若x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)的时候E=xu2+yu2+zu2 F=xuxv+yuyv+zuzvG=xv2+yv2+zv2,ds=EG-F2 dudv*第一型曲面积分是二重积分的空间曲面面积计算的继承。例题（后面将有本质一样的变形例题）：求曲面积分I=sx2y2dS 其中S为上半球面：z=R2-x2-y2,x2+y2R2 答案：I=215R2第二型曲面积分意义：1.解决流体通过某截面之流量，电场中通过某
11、曲面的电流量等优先的物理模型。提供一种有方向的量的积分方法。2.本质上是第一型曲线积分的扩展，将各个面的积分都化到一个面上面积分，变回了第一型曲面积分。为什么（cos,cos）是表示平面曲线的切线，而（cos,cos,cos）是表示空间曲面的法向量？因为无论（cos,cos）还是（cos,cos,cos）都是表示一个点的方向，所以假如在平面上表示点的方向的话，那么就是切线，假如在空间上表示点的方向的话就是过该点切平面的法向量。设流速是v(Mi),法向量为n(Mi),小块面积为Si,在S上给定一个流速 F(x,y,z)因此其水流量为sF(x,y,z)n(x,y,z)dS，而n(x,y,z)在空间
12、中nx,y,z=(cos,cos,cos)因此第二型曲面积分可以写成S(Pcos+Qcos+Rcos)dS，这样我们就可以讲第二型曲面积分写成第一型曲面积分的形式。sF(x,y,z)n(x,y,z)dS=sPdydz+Qdzdx+Rdxdy*第二型曲面积分与二重积分的区别：第二型积分是有三个未知数，而且都要限制在曲面S取值，而且第二型曲面积分具有方向性，有可能是负值。第二型曲面积分的计算方法：1.假如知道法向量的各个角的大小，则用S(Pcos+Qcos+Rcos)dS来计算。2.假如不知道角度大小。由于cos=11+fx2+fy2 因此可以利用偏导将其转化成第一型曲面积分的另外一种形式的形式。
13、sPx,y,fx,y-fx+Qx,y,fx,y-fy+Rx,y,fx,y（与第一型曲面积分fx,y,zds=Dxyfx,y,z(x,y)1+zx2+zy2dxdy形式上是一样的） *1.注意(-fx,-fy,1)是正方向，否则为反方向。2.第二型曲面积分不可以一开始就应用对称性，一定要代进去化简之后才可以利用对称性。3.不是所有平行于坐标面的面的积分都为0，因此要每个平面都要代进去积分。4.要善于利用轮换对称性。第二型曲面积分很多都是可以用轮换对称性的。5.用换元法来做题，直接将其范围也换过去，这样的话就可以大大减麻烦。6.投不同侧，被积函数的积分都不相同，所以一定要按照题目给出的要求来做投影
14、。7.一定要记住雅克比公式公式一定要乘上abr典型例题（与后面所学的高斯公式有很大关系）：Sxy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy其中S为椭圆面：x2a2+y2b2+z2c2=1的外侧。总结：第一型曲面积分和第二型曲面积分都是利用了格林公式，因为对被积函数的积分是需要讨论其路径的，但是由于其是二重积分，一下子就变成不用讨论了。所以格林公式的意义还在于证明了两个曲面积分不用讨论路径。高斯公式意义：建立在封闭的曲面上的第二型曲面积分与曲面所围的空间区域上三重积分之间的联系。设是一个闭合柱体曲面，则对曲面积分，S+Rdxdy=S1+Rdxdy+S2+Rdxdy+S3+Rdxdy=-DR(x,
15、y,f1(x,y)dxdy+DR(x,y,f2(x,y)dxdy而RxdV=Ddf1(x,y)f2(x,y)Rxdz=-DR(x,y,f1(x,y)dxdy+DR(x,y,f2(x,y)dxdyS+Rdxdy因此RxdV=S+Rdxdy，同理可得其他两个等式。所以有高斯公式*记得不闭合要补上去。斯托克斯公式意义：把格林公式公式中的平面区域推广到空间曲面，格林公式中的区域的边界曲线就自然推广为空间曲线。因而斯托克斯公式是天联系空间曲面上的第二型曲面积分与在该曲面的边界线上的第二型曲面积分之间的关系式。(格林公式是联系平面上曲线积分与二重积分的关系)，因此斯托克斯公式具有方向性，即边界线的方向与曲
16、面的正方向构成右手系。L+Px,y,zdx=C+Px,y,fx,ydx=D-yP(x,y,fx,y)dxdy=-DPy+Pzfydxdys+Pzdzdx+Pydxdy=DPz-fy+-Pydxdy=-DPy+Pzfydxdy因此有L+Px,y,zdx=s+Pzdzdx+Pydxdy推出斯托克斯公式*1.注意应用好“2+1”和“1+2”、对称性、轮换对称性。对做题影响很大。2.格林公式与借一个是证明的关键，我们在证明不定积分跟第二型曲面积分、第二型曲面积分跟三重积分的时候要将他们向第二型曲面积分转化，本身是第二型曲面积分的就进行化简。3.设x=x(t),dydx=dydtdtdx, dydt=dydxdxdt