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1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)下列反常积分收敛的是( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(D)【解析】，则.(2) 函数在内( )(A) 连续(B) 有可去间断点(C)有跳跃间断点(D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】，故有可去间断点.(3) 设函数,若在处连续则:( )(A) (B)(C)(D)【答案】(A)【解析】时，时，在处连续则：得得：，答案选择A(4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的
2、个数为( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数满足，则与依次是 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.令，则，从而变为.故，因而.故选（D）.(6)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( )(A) (B)(C)(D) 【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为所以故选B.(7) 设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(D)【解析】，由，
3、故或，同时或.故选（D）(8) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.由已知可得故所以.选（A）二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 则【答案】48【解析】. (10)函数在处的阶导数_【答案】【解析】根据莱布尼茨公式得：(11) 设连续，若，则【答案】【解析】已知，求导得，故有则. (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则=.【答案】【解析】由题意知：，由特征方程：解得所以微分方程的通解为：代入，解得：解得：(13)若函数由方程确定，则=.
4、【答案】【解析】当时，则对该式两边求偏导可得.将（0,0,0）点值代入即有则可得(14) 若阶矩阵的特征值为，其中为阶单位阵，则行列式.【答案】21【解析】的所有特征值为的所有特征值为所以.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分）设函数，.若与在时是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】方法一：因为，那么，可得：，所以，方法二：由题意得由分母，得分子，求得c；于是由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式，求得 (16) (本题满分10分)设A0，D是由曲线段及直线，所围成的平面区域，分别表示D绕轴与绕
5、轴旋转成旋转体的体积，若，求A的值.【答案】【解析】由旋转体的体积公式，得由题求得(17) (本题满分11分)已知函数满足，求的极值.【答案】极小值【解析】两边对y积分，得，故，求得，故，两边关于x积分，得由，求得所以.令，求得.又，当时，为极小值.(18) (本题满分10分)计算二重积分，其中【答案】【解析】(19)(本题满分 11 分)已知函数，求零点的个数？【答案】个【解析】令,得驻点为,在,单调递减,在,单调递增故为唯一的极小值,也是最小值.而在,故从而有考虑，所以.所以函数在及上各有一个零点，所以零点个数为2.(20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度
6、对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？【答案】【解析】设时刻物体温度为，比例常数为，介质温度为,则，从而，所以，即又所以，所以当时，所以还需要冷却min.(21) (本题满分10分)已知函数在区间上具有2阶导数，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明.【证明】根据题意得点处的切线方程为令，得因为所以单调递增，又因为所以，又因为所以又因为，而在区间（a,b）上应用拉格朗日中值定理有所以因为所以单调递增所以所以，即，所以，结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵且.(1) 求的值；(2) 若矩阵满足，为3阶单位阵，求.【答案】【解析】(I)(II)由题意知， (23) (本题满分11 分)设矩阵相似于矩阵.（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角阵.【答案】（1）；（2）【解析】(I)(II)的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，