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1、3.8 平面束方程,定义 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，这条直线叫做平面束的轴.,例 在直角坐标系下，求过直线 且与 平面 x + y + z 1 0 垂直的平面方程.,即,由两平面垂直，,即,解 设所求平面方程为：,例 在直角坐标系下，求直线,在平面,：2x + 2y + z -11=0,上的投影直线.,解1,过直线 l 作平面 与 垂直，则与 的交线 l 就是 l 在 上的投影.,将 l 的方程改写为一般式,过 l 的有轴平面束方程为,x + 4y - 24 + (3y + z -17) = 0,即,x + (4 + 3 ) y + z - (24 + 17) = 0
2、,其法向量为,过 l 的平面束方程为,x + (4 + 3 ) y + z - (24 + 17) = 0,其法向量为,由 可得,的方程为,例 在直角坐标系下，求直线,在平面,：2x + 2y + z -11=0,上的投影直线.,解1,7x - 2 y - 10z + 2 = 0,取,例 在直角坐标系下，求直线,在平面,：2x + 2y + z -11=0,上的投影直线.,解2,l 在 上的投影直线为,定义 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束.,例 仿射坐标系下，求与平面 3x + y z + 4 0 平行且在 z 轴上截距等于 -2 的平面方程.,解 设所求平面方程为：,3x
3、 + y z + 0.,因平面在 z 轴上截距为 -2，,所以平面过点(0,0,-2),因此所求方程为：,3x + y z 2 0,例 仿射坐标系下，证明两直线,与,在同一平面上的充要条件是,证 过 l1 的任意平面为,（1）,其中 1，2 是不全为零的任意实数.,（2）,同一平面,其中 3， 4 是不全为零的任意实数.,因此两直线 l1 与 l2 在同一平面的充要条件是：,存在不全为零的实数 1、2 、3、4使 (1)、(2) 代表,也就是(1)、(2)的左端仅相差一个不为零,的数因子m.,过l2的任意平面为,所以,又 1，2，3，4不全为零，故,而 m 0，因此两直线 l1 与 l2 共面的充要条件为,例 仿射坐标系下，证明两直线,与,异面的充要条件是,练习 证明两直线,与,平行的充要条件是（仿射坐标系下）,练习：习题3.8 3, 8,作业：习题3.8 1, 2, 4, 5, 6, 7,练习 仿射坐标系下，三张平面的方程为,在 a 取什么数时，它们不相交于一点，又互相都不平行？,提示： 计算系数矩阵行列式的值，使其为0； 再由三张平面互不平行，可得 a = -2.,