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1、第四章 平面,回顾,一、直线的投影 二、直线对投影面的相对位置 三、直线上的点 四、两直线的相对位置,主要内容,一、平面的投影 二、平面上的点、直线 三、平面对投影面的相对位置 四、直线与平面、平面与平面的相对位置,一、平面的投影,1.平面的投影性质 平面图形的投影，由平面图形的边线投影表示。一般情况下，其投影是一个类似的图形。,一、平面的投影,积聚投影垂直于投影面 反映平面的真实情况平行于投影面,一、平面的投影,2.平面的表示方法 用几何元素表示平面 用迹线表示平面,(1) 不在同一直线上的三点,(2) 一直线和线外一点,(3)两相交直线,(4)两平行直线,(5) 平面图形,一、平面的投影,
2、PW,一、平面的投影,迹线：平面与投影面的交线。,二、平面上的点、直线,1.平面上的点 若点在平面上，则该点必定位于平面上的某一直线上。反之，若一点位于平面上的某一直线上，则该点必定位于平面上。,a,b,c,a,b,c,k,k,e,e,K点不在ABC上,判定点K是否在平面ABC上？,二、平面上的点、直线,2. 平面上的直线 若直线在平面上，则该直线必通过平面上的两个已知点或通过平面上的一个点且平行于平面上某一直线。,a,a,b,b,c,c,d,d,e,f,e,f,k,l,不 在,判定线EF是否在平面ABCD上？,二、平面上的点、直线,2.平面上投影面平行线 既在平面上又平行于投影面的直线。,d
3、,d,e,e,a,b,c,b,a,c,m,n,n,m,已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。,a,b,c,b,c,a,k,k,1,2,1,2,试在平面ABC上确定一点K，使点K到V、H投影 面的距离均为25mm。,c,d,e,f,f ,五边形ABCDE为平面图形，BCH 面，AEBC，试完成其正面投影。,e,d,c,e,已知平面四边形ABCD，其中DC为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。,已知ABC与点D和直线EF共面，试完成ABC的两面投影。,平面,一般位 置平面,投影面 垂直面,投影面 平行面,铅垂面,正垂面,侧垂面,水平面,正平面,侧平面,
4、对H、V、W面均倾斜,H面，对V、W面均倾斜,V面，对H、W面均倾斜,W面，对H、V面均倾斜,H面，V面，W面,V面，H面，W面,W面，H面，V面,三、平面对投影面的相对位置,一般位置平面的投影特性: 1.abc 、 abc和 abc均为ABC的类似形 2.不反映 、 的真实角度,三、平面对投影面的相对位置,三、平面对投影面的相对位置,最大斜度线：平面内与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大斜度线。 投影特性：最大斜度线垂直于平面内的投影面平行线；平面对投影面的夹角等于平面内的最大斜度线对投影面的倾角。,求平面ABC的角。,求平面ABC的角。,c,a,b,a,b,已知ABC平
5、面的=30，边AB为水平线，试完成ABC的正面投影。,已知AB为平面ABC对H面的最大斜度线，试完成ABC的正面投影。,铅垂面的投影特性： 1.平面的水平投影abc积聚为一条线，积聚线与OX、OY夹角反映了平面与V、W面的、 角，= 90 2.abc和 abc为ABC的类似形,三、平面对投影面的相对位置,三、平面对投影面的相对位置,铅垂面迹线表示法,正垂面的投影特性： 1.平面的正面投影abc积聚为一条线 ；积聚线与OX、OZ夹角反映了平面与H、W的、 角，=90 2.abc、 abc 为ABC的类似形,三、平面对投影面的相对位置,Y,正垂面迹线表示法,三、平面对投影面的相对位置,侧垂面的投影
6、特性： 1.平面的侧面投影abc积聚为一条线 ；积聚线与OY、OZ的夹角反映平面的、角，其 = 90 2.abc、 abc为ABC的类似形,三、平面对投影面的相对位置,三、平面对投影面的相对位置,侧垂面的迹线表示法,三、平面对投影面的相对位置,投影面垂直面投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影具有积聚性，并反映平面对另外两个投影面的倾角。 平面在另外两个投影面上的投影均反映类似性。,x,z,Y,V,W,H,O,水平面的投影特性： 1.abc、abc积聚为一条线，具有积聚性 2.水平投影 abc 反映ABC实形,三、平面对投影面的相对位置,正平面的投影特性： 1.abc 、abc积聚为一条线，
7、具有积聚性 2.正平面投影 abc反映ABC实形,X,z,Y,V,W,H,O,三、平面对投影面的相对位置,侧平面的投影特性： 1.abc 、 abc积聚为一条线，具有积聚性 2.侧平面投影 abc反映ABC实形,三、平面对投影面的相对位置,三、平面对投影面的相对位置,投影面平行面投影特性： 平面所平行的投影面上的投影反映实形（真实性） 平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴（积聚性）,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,1.直线与平面平行 一直线若和平面内的一条直线平行，则该直线必平行于该平面。,e,f,e,f ,a,b,c,a,b,c,d ,d,作 adef,EF不
8、平行ABC,判断直线与平面是否平行,b,作abfg 并量取ab=35mm,过空间点A作一条水平线AB=35mm，且平行于DEF。,过空间直线AB作直线EF的平行面,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,2.平面与平面平行 一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。 若两个同一投影面垂直面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。,X,O,d,d,ADHG BCHE 两平面平行,判别平面与平面是否平行？,过点A作平面EDG的平行面,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,3.直线与平面垂直 若直线与平面互相垂直，则直线垂直平面上的任何直线。 直线若和平面内的任意两条相交直线垂直，则这条直线
9、就和这个平面互相垂直。,P,H,A,B,V,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于该平面内的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面内的正平线的正面投影。反之亦然。,EFABC,GHP平面,判别直线是否与平面垂直,过空间一点作已知平面的垂线,过空间一点作已知直线的垂面,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,4.平面与平面垂直 一个平面上有一条直线垂直于另一平面,则两平面相互垂直。,e,e,a,a,b,b,c,c,f,f,g,g,ABCEFG,判别两平面是否垂直,过空间一直线作已知平面的垂面,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,5.相交 直线
10、与平面相交于一点，交点是直线与平面的共有点；两平面相交于一直线，交线是两平面的共有线。,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,1）积聚性求交 两相交元素中若有一个元素具有积聚性，则可利用其积聚性来求交点或交线。,一般位置直线与投影面垂直面相交,1,1,E,F,A,B,C,E,e,f ,a,b,e(f ),b,c,a,投影面垂直线与一般面相交,一般面与投影面垂直面相交,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,n,n,m0,m0,m,m,一般面与投影面垂直面相交,两个同一投影面垂直面相交,四、直线与平面、平面与平面的相对位置,2）无积聚性时求交 由于相交的两元素均无积聚性，故不能直接利用积
11、聚性进行求解。解决这类问题，通常可借助设置特殊辅助平面进行求解。,m,n,QV,解题步骤： 1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ABC的交线MN。 3、求交线MN与EF的交点K。,4、可见性判别。,一般线与一般面相交,判别可见性的原理是利用重影点。,可见性判别方法,f ,e,e,f,b,a,a,c,b,c,k,k,( ),( ),利用重影点判别可见性,求交线步骤： 1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；,2、判别可见性。,两一般位置平面相交,（ ）,( ),判别可见性的原理是利用重影点。,判别两平面的可见性,A,D,C,B,E,L,K,F,利用两个水平面解题,T1,T2,P,Q,利
12、用两个水平面解题,图解技巧,1、度量问题是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求其实长或实形。 点到点之间的距离：求二点之间线段的实长（直角三角形法）。 点到直线之间的距离：过点作平面垂直于直线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。,图解技巧,点到平面之间的距离：过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。,图解技巧,两平行直线之间的距离：过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。,图解技巧,两交叉直线之间的距离：包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间
13、的线段实长。,图解技巧,相互平行的直线与平面之间的距离：过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。,图解技巧,两平行平面之间的距离：过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。,求点C到直线AB的距离。,过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。,1,2,1,2,所求距离,PV,1,2,1,2,所求距离,PV,d,d,求两平行直线AB和CD的距离。,求点到ABC平面的距离。,作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长即
14、可。,所求距离 MK实长,m,c,c,a,b,a,b,X,O,d,d,求交叉两直线AB和CD的公垂线。,P,过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，再过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EFAB与直线CD交于点K；过点K作直线KL AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。,3,4,e,e,k,k,PH,图解技巧,2.角度的度量 两相交直线间的夹角 直线与平面的夹角 两平面间的夹角,任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。,两相交直线间的夹角,直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线的夹角）的余角，即为直线与平面的夹角，此法又称余角法。,直线与平面的夹角,在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角(方法同两相交直线间的夹角)的补角，补角即为所求夹角。此法又称补角法。,两平面间的夹角,作的余角，即为所求直线与平面的夹角。,求直线与平面的夹角,小结,一、平面的投影 二、平面上的点、直线 三、平面对投影面的相对位置 四、直线与平面、平面与平面的相对位置,