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1、高三一轮复习资料 解 三 角 形 讲 义解三角形 1直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：如右上图，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
2、a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）S ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）S absinCbcsinAacsinB；（3）S ；(R为三角形ABC外接圆半径)（4）S ； （5） ,其中是三角形内切圆半径.4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为
3、解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C = ；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边正弦定理 （R为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变
4、换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列。6. 正余弦定理的应用 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题： (1)已知两
5、边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题. 解三角形时，三角形解的个数的判断 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解7. 正余弦定理解决应用题1.步骤：由已知条件作出图形， 在图上标出已知量和要求的量； 将实际问题转化为数学问题； 答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。 方位角北张角仰角俯角1、高考真题再现1. （2014年高考安徽（文）设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.2.（2014年高考安徽（理）设ABC的内角A,B,C所对
6、边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.（）求a的值（）求的值.3.（2013年高考安徽卷（文、理）设的内角所对边的长分别为，若,则角=（ ） A. B. C. D. 4.（2012年高考安徽卷（文）设的内角所对边的长分别为，且有。（）求角A的大小；（) 若，为的中点，求的长。5.（2012年高考安徽卷（理）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 若；则 若；则 若；则 若；则 若；则6.(2011年高考安徽卷（理）)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_7(2013年高考陕西卷（理）)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b co
7、s Cc cos Ba sin A，则ABC的形状为( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定8.（2014年高考江西卷（理）在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（ ）A.3 B. C. D.9.（2014年高考重庆卷（理）已知三角形ABC的内角满足,面积满足,则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 10.（2014年高考四川卷（理）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度约等于_。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：，）11.（2014年高考新课标I卷（理）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为
8、 .12.（2014年高考陕西卷（理）的内角所对的边分别为.（I）若成等差数列，证明：；（II）若成等比数列，求的最小值. 13.（2014年湖南卷（理）如图5,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若,求的长.2、例题分析题型一：利用正余弦定理解三角形例1.在ABC中，a，b，B45.求角A、C和边c. (2)在ABC中，a8，B60，C75，求边b和c.例2.在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（） Ab=20，A=45，C=80Ba=30，c=28，B=60 Ca=14，b=16，A=45Da=12，c=15，A=120例3.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b
9、，c，且a2bsinA.（1）求角B的大小； （2）求cosAsinC的取值范围例4.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积.题型二：利用正余弦定理解决面积问题与周长问题例1.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且. 例2.在中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量,且 (1)求锐角B的大小; (2)如果,求的面积的最大值例3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若cosB，ABC的周长为5，求b的长例4.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，。（1
10、） 求A的大小（2） 若a=1，求ABC的周长的取值范围（若改为锐角三角形，则周长的取值范围呢？）例5在中,角所对的边分别为,. （1）试判断的形状; （2）若的周长为16,求面积的最大值.题型三：三角形中的三角恒等变换问题例1在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。例2在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。例3. 设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b23c23a24bc. (1)求sin A的值； (2)求的值例4.在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，8，BAC，a4.(1)
11、求bc的最大值及的取值范围；(2)求函数f()2sin2()2cos2的值题型四：利用正、余弦定理判断三角形形状例1.在中,若,则的形状是（ ）A锐角三角形.B直角三角形.C钝角三角形.D不能确定.例2.已知在ABC中，则ABC的形状是 例3.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形例4.在ABC中，面积且判定三角形形状。例5.在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.题型五：利用正、余弦定理解决实际问题例1.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中
12、为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？例2.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,.(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的
13、时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?CBA例3.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤3.课后练习1在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B( )A B. C1 D12.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是 () A.等腰直角三角形B.直角三角形 C
14、.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在ABC中，若A60，b1，SABC，则的值为() A. B. C. D.4.若ABC的内角A、B、C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB( )A. B. C. D.5.若ABC的内角A、B、C所对的边a，b，c满足(ab)2c24且C60，则ab的值为( )A. B84 C1 D.6.在ABC中，若b5，B，sin A，则a_.7.若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_.8.在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_.10.在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，则的值是_.11在ABC中
15、，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S(b2c2a2)，则A_ _12.在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为 .【解析】由正弦定理得：，即，则2.又ABC为锐角三角形，AB3A90，B2A9030A45，cosA由AC2cosA得AC的取值范围是(，)13.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状.解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A
16、，故cos A，又0A180，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(sin Bsin C)2sin Bsin C，又sin Bsin C1， sin Bsin C.解联立的方程组，得sin Bsin C.因为0B60，0C60，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形.14.在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A. (1)求A的度数； (2)若a，bc3，求b、c的值.解(1)BCA，即，由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20.cos A，又0A0sinA2sinAcosB，cosB又B(0，)，B.(2)由余弦定理得，b2a2c22accosBa2c2acac当且仅当ac时“”成立又b2，ac12. SABCacsinB123，当且仅当ac2时，SABC的最大值为3.