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1、9.13立体几何的综合问题【教学目标】1、初步掌握“立几”中“探索性”“发散性”等问题的解法2、提高立体几何综合运用能力，能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形。【点击双基】1.若RtABC的斜边BC在平面内，顶点A在外，则ABC在上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角线长为4，过每
2、个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60，则长方体的体积是A.27 B.8 C.8 D.16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，V=222=8.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_.解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.答案：a35.已知ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积是_.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos，=，sinA=.S=|sinA= .答案：【典例剖析】【例1】 在直角坐标系Oxyz中，=（0，1，0
3、），=（1，0，0），=（2，0，0）， =（0，0，1）.（1）求与的夹角的大小；（2）设n=（1，p，q），且n平面SBC，求n；（3）求OA与平面SBC的夹角；（4）求点O到平面SBC的距离；（5）求异面直线SC与OB间的距离.解：（1）如图，= =（2，0，1），= + =（1，1，0），则|=，|=.cos=cos，=，=arccos.（2）n平面SBC，n且n，即 n=0，n=0.=（2，0，1），= =（1，1，0），即n=（1，1，2）. 2q=0， p=1，1p=0. q=2，（3）OA与平面SBC所成的角和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求与n所成的角.=（0，1，
4、0），|=1，|n|=.cos，n=，即，n=arccos.=arccos.（4）点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值，d=|= .（5）在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m.设m=（x，y，1），m且m，则m=0，且m=0.即 2x1=0， x=，x+y=0， y=.m=（，1），d=|= =.特别提示借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.【例2】 如图，已知一个等腰三角形ABC的顶角B=
5、120，过AC的一个平面与顶点B的距离为1，根据已知条件，你能求出AB在平面上的射影AB1的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB1=2?解：在条件“等腰ABC的顶角B=120”下，ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB1=2：CB1=2；CB=或AB=；直线AB与平面所成的角BAB1=arcsin；ABB1=arctan2；B1AC=arccos；AB1C=arccos；AC=；B1到AC的距离为；B到AC的距离为；二面角BACB1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB1=2，那么能够推出什
6、么结果，再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2.【例3】 （2004年春季北京）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求证：BCSC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证法一：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BCSC.证法二：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，SDBC.又DCSD=D，BC平面SD
7、C.BCSC.（2）解法一：SD底面ABCD，且ABCD为正方形，可以把四棱锥SABCD补形为长方体A1B1C1SABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBC，BCA1S，SCA1S.又SDA1S，CSD为所求二面角的平面角.在RtSCB中，由勾股定理得SC=，在RtSDC中，由勾股定理得SD=1.CSD=45，即面ASD与面BSC所成的二面角为45.解法二：如下图，过点S作直线lAD，l在面ASD上.底面ABCD为正方形，lADBC.l在面BSC上.l为面ASD与面BSC的交线.SDAD，BCSC，lSD，lSC.CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法一）.（3）解法一：如上图，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点，DMSA.BAAD，BASD，ADSD=D，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DMSB.异面直线DM与SB所成的角为90.解法二：如下图，取AB的中点P，连结MP、DP.在ABS中，由中位线定理得PMBS.DM与SB所成的角即为DMP.又PM2=，DP2=，DM2=.DP2=PM2+DM2.DMP=90.异面直线DM与SB所成的角为90.【知识方法总结】【作业】