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1、试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
2、求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1函数的定义域为A B C D2已知复数（其中，是虚数单位），则的值为A B C0 D23如果函数的最小正周期为，则的值为A1 B2 C4 D84在中，在上任取一点，使为钝角三角形的概率为A B C D图1俯视图22正(主)视图222侧(左)视图2225如图1
3、是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为A BC8 D126在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数的值为A1 B2 C3 D47已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为A3 B2 C2或3 D或8已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角若， ，则的值为A B C D9已知函数，对于任意正数，是成立的A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件10已知圆：，点（）是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么A，且与圆相离 B，且与圆相切C，且与圆相交 D，且与圆相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分2
4、0分（一）必做题（1113题）11若函数是偶函数，则实数的值为 12已知集合，若，则实数的取值范围为 13两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，则 ，若，则 512122图2POABCD图3（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点，弦过点，且，则的长为 15（坐标系与
5、参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数），若与相交于、两点，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（1）求的值； （2）若，求的值（分数）0 40 50 60 70 80 90 100 频率组距0.0100.0050.020图40.025a17（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考 试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，后得到如图4的频率分布直方图（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，
6、试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率18（本小题满分14分）图5如图5所示，在三棱锥中，平面平面，于点， ，（1）求三棱锥的体积；（2）证明为直角三角形19（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，成等比数列（1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：20（本小题满分14分）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围21（本小题满分14分）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶
7、点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点（1）求曲线的方程；（2）设点、的横坐标分别为、，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部
8、分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分题号12345678910答案DDCBCBACBA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题第13题仅填对1个，则给3分110 12 1335，10 14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查
9、两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：1分 3分4分（2）解法1：因为5分6分7分所以，即 因为， 由、解得9分所以11分12分解法2：因为5分6分7分所以9分 10分 11分 12分17（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以1分解得2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学
10、成绩不低于60分的人数约为人 5分（3）解：成绩在分数段内的人数为人，分别记为，6分成绩在分数段内的人数为人，分别记为，7分若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：， 共15种9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：，共7种11分所以所求概率为12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考
11、查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面2分记边上的中点为，在中，因为， 所以因为，所以4分所以的面积5分因为，所以三棱锥的体积7分（2）证法1：因为，所以为直角三角形因为，所以9分连接，在中，因为，所以10分由（1）知平面，又平面，所以在中，因为，所以12分在中，因为，所以13分所以为直角三角形14分证法2：连接，在中，因为，所以8分在中，所以，所以10分由（1）知平面，因为平面，所以 因为，所以平面12分 因为平面，所以所以为直角三角形14分19（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比
12、数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：因为数列是等差数列，所以，1分依题意，有即3分解得，5分所以数列的通项公式为（）6分（2）证明：由（1）可得7分所以8分所以 9分 10分因为，所以11分因为，所以数列是递增数列12分所以13分 所以14分20（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：因为，所以1分当时，函数没有单调递增区间；2分当时，令，得故的单调递增区间为；3分当时，令，得故的单调递增区间为4分综上所述，当
13、时，函数没有单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为5分（2）解：，由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和6分所以函数在处取得极小值，7分函数在处取得极大值8分由于对任意，函数在上都有三个零点，所以即10分解得11分因为对任意，恒成立，所以13分所以实数的取值范围是14分21（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得，1分设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即所以双曲线的方程为3分（2）
14、证法1：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或所以6分同理可得，7分所以8分证法2：设点、（，），则，4分因为，所以，即5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，即，6分所以，即7分所以8分证法3：设点，直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或6分将代入，得，即所以8分（3）解：设点、（，），则，因为，所以，即9分因为点在双曲线上，则，所以，即因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以10分因为， 所以11分由（2）知，即设，则，设，则，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减 因为，所以当，即时，12分当，即时，13分所以的取值范围为14分说明：由，得，给1分