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1、2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月14日下午14:3016:30）题目一二三总成绩13141516得分评卷人复核人考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分 2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。 3.计算器，通讯工具不准待入考场。 4.解题书写不要超过封线一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1. 已知函数处有极值，则实数a的值是（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2.已知的两个根，则（ ）A. B. C. D. 3.在的展开式。所有形如的项的系数之和是（ ）A. 112 B. 448 C. 1792 D. 143364.已知的左
2、，右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. （0.） B.（0.） C.（，1） D.（，1）5.已知ABC中，的最大值时（ ）A. B. C.2 D.6.已知数列满足：，用表示不超过实数x的最大整数，则的个位数是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）7. 已知函数=_.8. 设，其中是虚数单位，若成等比数 列，则实数a的值是_.9.若是双曲线上的点，则的最小值是_.10. 如图，设正方体的棱长为1，为过直线的平面，则 截该正方体的截面面积的取值范围是_.11.已知实数满足：的最大值是_.12.设集合则集
3、合A中元素的个数是_三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.已知数列满足：（1）若a=3,求证：数列成等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若对任意的正整数n,都有，求实数a的取值范围。14.1993年，美国数学家F.Smarandache提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache函数。正整数n的Smarandache函数定义为，比如： （1）求数S（16）和S（2016）的值； （2）若S（n）=7,求正整数n的最大值； （3）证明：存在无穷多个合数n，使得,其中的最大质因数. 15. 如图，轴上，且关于y轴对称，过点垂直于x轴的
4、直线与抛物线交于B,C,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足 （1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点； （2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记BCF与ADE的面积分别为 ,求的值.16.设为实数，若对任意的实数恒成立，其中求的最大值和的最小值2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题草考答案及评分标准一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243 三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.
5、 证明：（1）因为所以，数列成等比数列 5分于是即数列的通项公式 10分（2） 法1：因为对任意的正整数n都成立，故由（1）知当3a4时，则b0,注意到则，即数列单调递增从而 15分当a=4时，由条件可知满足条件：注意到，满足条件综上，所求实数a的取值范围 20分法2：因为对任意的正整数n都成立，故下面用数学归纳法证明：当时，对任意的正整数n，都有当时，结论成立：假设当， 15分于是结论对也成立.由归纳原理知，对任意的正整数n，都有综上，所求实数a的取值范围 20分14.解：因为 5分由又 10分（2）由又 15分（3）因为对任意奇质数所以，存在无穷多个合数n,使得 20分15，解：（1） 设所以可得设于是设所以E的坐标为因此直线DE的斜率为：， 5分所以直线DE的方程是化简得， 与抛物线方程联立，得即 此时，方程有两个相等的根：代入，得所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 10分 （2） 15分设直线DE与x轴交于点G，令解得于是所以 20分16.解：取（1）先证：因为 5分（2） 再证：综上可知，的最大值是3，的最小值是3 20分